Soluzioni prima prova intermedia versione B

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Analisi e Geometria 1 Primo compito in itinere 13 Novembre 2017 Compito A Docente: Fabio Punzo Numero di iscri- zione all’appello: Cognome: Nome: Matricola: Punteggi degli esercizi : Es.1: 4 = 2 + 2; Es.2: 8 = 2 + 3 + 1 + 2. 1. (a) Disegnare nel piano di Gauss gli insiemi A = { z∈ C : |z|≤ 3, Imz≥ 3√ 2 } B = { w∈ C : w = z i con z∈A } . (b) Determinare gli insiemi C = { z∈ C : ( z + 3 2 i )3 = ( 31− i 1 + i )3} e B∩C. Soluzione (a) Nella figura seguente ` e rappresentato l’insiemeA nel piano di Argand-Gauss (con x = Rez,y = Imz): y x3−3 A π 4 3 4π Notiamo che 1 i =−i ` e un numero complesso di modulo 1 e di argomento principale θ =−π 2 . Dunque, ricordando il significato geometrico della moltiplicazione in C, deduciamo che l’insieme B si ottiene ruotando l’insieme A attorno all’origine di un angolo θ =−π 2 in senso antiorario (o, in altri termini, in senso orario di π 2 ). Pertanto, si ha B = { z∈ C : |z|≤ 3, Rez≥ 3√ 2 } , che, nel piano di Argand-Gauss, si rappresenta come segue: y x 3 −3 B 33√ 2 π 4 − π 4 (b) Per determinare l’insieme C occorre risolvere l’equazione ( z + 3 2 i )3 = ( 31− i 1 + i )3 . Osserviamo che 1− i 1 + i = (1− i)2 2 =−i, (−3i)3 = 33i. Poniamo ζ =z + 3 2i. Si tratta dunque di risolvere l’equazione ζ 3 = 3 3i. Poich´ e le radici cubiche di i sono √ 3 2 + 1 2 i,− √ 3 2 + 1 2 i,−i , le soluzioni dell’equazione sono ζ = 3 √ 3 2 + 3 2 i ossia z = 3 √ 3 2 ζ =−3 √ 3 2 + 3 2 i ossia z =−3 √ 3 2 ζ =−3i ossia z =−3 2 i− 3i =−9 2 i. Pertanto, si ha C = { 3 √ 3 2 ,−3 √ 3 2 ,−9 2 i } . Infine, si ricava facilmente che B∩C = { 3 √ 3 2 } . 2. Si consideri la funzione definita da f(x) :=ex 5 √ 1− x2 9 ; (a) determinarne il dominio D e i limiti agli estremi del dominio; (b) determinarne gli estremi locali; (c) disegnarne il grafico qualitativo in base alle…