Soluzioniappellofebbraio2012

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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Algebra lineare e geometria Docente: I. Sabadini 8 febbraio 2012 Cognome: Nome: Matricola: • Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. T utte le risposte devono essere giustificate 1. Si consideri lo spazio vettoriale V = R≤2[x] dei polinomi a coefficienti reali di grado minore o uguale a 2 e si consideri l’applicazione L : V → V definita da L(p(x)) = ( x − 1)p′(x). (a) Verificare che L ` e un’applicazione lineare; (b) Fissata in V la base B = {1, x, x2}, scrivere la matrice rappresentativa di L rispetto alla base B; (c) Determinare nucleo e immagine di L precisandone la dimensione e una base; (d) Fissata in V la base B′ = {1, 1 − x, x2 + x}determinare la matrice rappresentativa di L rispetto alla base B′. Soluzione. (a) Siano p(x), q(x) polinomi di V e sia t ∈ R. Si ha L((p + q)(x)) = (x − 1)(p + q)′(x) = ( x − 1)(p′(x) + q′(x)) = ( x − 1)p′(x) + ( x − 1)q′(x) = L(p(x)) + L(q(x)) e L(tp(x)) = ( x − 1)(tp(x))′ = ( x − 1)(tp′(x)), per le propriet` a di linearit` a della derivazione. (b) Nella base data, ordinata secondo le potenze crescenti di x (base canonica di V ), il polinomio p(x) = a + bx + cx2 ` e rappresentato dal vettore [a, b, c ]T mentre L(p(x)) = −b + (b − 2c)x + 2cx2 ` e rappresentato dal vettore [−b, b − 2c, 2c]T . La matrice rappresentativa di L ` e quindi A =   0 −1 0 0 1 −2 0 0 2   . (In alternativa, la stessa matrice si pu` o costruire accostando sulle colonne i vettori trasformati dei vettori della base, ovvero L(1) = 0 = 0 ·1 + 0·x + 0 ·x2, L(x) = x − 1 = −1 ·1 + 1 ·x + 0 ·x2, L(x2) = 2 x2 − 2x = 0 ·1 − 2 ·x + 2 ·x2). (c) Notiamo che r(A) = 2 quindi dim Im( A) = 2 e dim ker( A) = 1. Una base per…