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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Algebra lineare e geometria Primo appello Docente: 12 luglio 2010 Cognome: Nome: Matricola: • Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. T utte le risposte devono essere giustificate 1. Si consideri il sistema lineare    2x − y = 10 2x − 3y = −4 x + y = 3 (1) a) si verifichi che il sistema ` e sovradeterminato. b) si scrivano le equazioni normali del sistema, e si determini la soluzione ai minimi quadrati del sistema (perch´ e ` e unica?) c) si scriva la proiezione ortogonale di [10 , −3, 4]T sullo spazio colonna della matrice dei coefficienti del sistema. Soluzione. (a) La matrice dei coefficienti del sistema e la matrice completa sono rispettivamente A =   2 −1 2 −3 1 1   A|b =   2 −1 10 2 −3 −3 1 1 4   dove b indica il vettore colonna dei termini noti. Un semplice calcolo mostra che det(A|b) ̸= 0, quindi r(A|b) = 3, mentre r(A) = 2 quindi il sistema ` e sovradetermina- to. (b) Le equazioni normali del sistema sono date da AT Ax = AT b, dove AT A = [ 9 −7 −7 11 ] AT b = [15 5 ] . Risolvendo il sistema lineare { 9x − 7y = 15 −7x + 11y = 5 (2) si trova la soluzione ai minimi quadrati ˆ x= [4, 3]T che ` e unica dato che il rango di A (e quindi della matrice quadrata AT A) vale 2. (c) La proiezione ortogonale di b sullo spazio colonna di A ` e data dap = Aˆ x, ovvero p = [5, −1, 7]T . 2. Sia V lo spazio vettoriale dei polinomi p(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 di grado minore o uguale a 3 a coefficienti reali. Sia L : V →R3 la funzione definita da L(p(x)) =   p(0) p(−1) p(2)   a) si verifichi che L ` e lineare. b) si scelga una base di V e si scriva la matrice che rappresenta L rispetto a tale base di V e alla…