Soluzioniappellosettembre2010

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Esercizio 1 (14 punti) Si consideri la matrice A = 1 2   1 1 1 −1 1 1 −1 1 1 −1 1 1 −1 1 1 1   1a) posto V1 = Ker( A − I) e V−1 = Ker( A + I), determinare una base di V1 e una base di V−1, e verificare che dim V1 + dim V−1 = 4; 1b) qual ` e il polinomio caratteristico di A? (sugg: utilizzare il punto precedente); 1c) determinare se possibile una matrice ortogonale Q e una matrice diagonale D tali che QT AQ = D. Soluzione 1a) Il nucleo di A − I coincide col nucleo della matrice 2(A − I) =   −1 1 1 −1 1 −1 −1 1 1 −1 −1 1 −1 1 1 −1   Tutte le righe della matrice sono multipli scalari della prima, per cui V1 = {[x1, x2, x3, x4]T ∈R4 : x1 − x2 − x3 + x4 = 0} ha dimensione tre, e una sua base ` e formata dai tre vettori v1 = [1, 1, 0, 0]T , v2 = [1, 0, 1, 0]T , v3 = [−1, 0, 0, 1]T . Il nucleo di A + I coincide col nucleo della matrice 2(A + I) =   3 1 1 −1 1 3 −1 1 1 −1 3 1 −1 1 1 3   Possiamo semplificare la matrice del sistema con mosse di Gauss in questo modo   −1 1 1 3 1 −1 3 1 1 3 −1 1 3 1 1 −1   →   −1 1 1 3 0 0 4 4 0 4 0 4 0 4 4 8   →   −1 1 1 3 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 2   →   −1 1 1 3 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0   Qunidi V2 = {[x1, x2, x3, x4]T ∈R4 : x1 − x2 − x3 + x4 = 0}ha dimensione uno, e una sua base ` e formata dal vettore v4 = [1, −1, −1, 1]T . Si poteva evitare di risolvere questo sistema ragionando come segue. Il nucleo V−1 di A + I ` e l’autospazio diA relativo all’autovalore λ = −1. Siccome A ` e simmetrica, V−1 ` e contenuto nel complemento ortogonaleV⊥ 1 dell’autospazio relativo all’autovalore 1. Ma il complemento ortogonale di V1 ha dimensione uno ed ` e generato da v4 = [1, −1, −1, 1]T perch` eV1 ha equazione x1 − x2 − x3 + x4 = 0. Quindi V−1 consiste del solo vettore nullo oppure ` e la retta generata da…