Soluzioniprimaprova2010

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Soluzione prima prova intermedia. heDati i vettoriv1u   h g h  cv2u   −h i h  r a]Quante sono le matrici ortogonali di ordine k la cui prima colonna ` e un multiplo scalare div1e la cui seconda colonna ` e un multiplo div2z b]Determinare una matrice ortogonale Qdi ordine k la cui prima colonna ` e un multiplo scalare div1e la cui seconda colonna ` e un multiplo div2e Le righe diQ formano una base ortonormale diR3z Soluzione SiccomevT 1v2u−hbh u gc la prima [rispettivamente la seconda] colonna della matrice ` e uno dei due versori della retta generata dav1[rispe dav2]s la terza colonna ` e uno dei due versori della retta perpendicolare al piano generato da v1ev2e Ci sono due scelte per ogni colonnac il numero di matrici ` e quindi pe Per trovare un vettorev3u[x, y, z]Tperpendicolare av1ev2risolviamo il sistema lineare { vT 3v1uxbzug vT 3v2u−xbiybzug Assegnando alla variabile liberazil valore h si trovav3u[−h,−h,h]Te Per normalizzare i vettorivkcalcoliamo la loro lunghezzar ||v1||u √ i,||v2||u √ n,||v3||u √ k Possiamo ora scrivere una matriceQdella forma richiestar Qu [v1 ||v1|| v2 ||v2|| v3 ||v3|| ] u   h√ i −h√ n−h√ k g i√ n −h√ k h√ i h√ n h√ k   Le righe diQformano una base ortonormale diR3perch´ ec seQ` e ortogonalec anche QT` e ortogonalee Lo si pu` o comunque verificare direttamenter le righe diQsono a due a due perpendicolari e hanno lunghezza uno come si vede calcolando i prodotti scalari di una riga per un’altrae ieDati i vettoriv1u   h h −h  cv2u   g i i  r a]Quante sono le matrici ortogonali di ordine k la cui prima colonna ` e un multiplo scalare div1e la cui seconda colonna ` e un multiplo div2z b]Determinare una matrice ortogonale Qdi ordine k la cui prima colonna ` e un multiplo scalare div1e la cui seconda colonna ` e…