Soluzioniprimaprova2012

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Algebra lineare e geometria per Ingegneria Matematica. Prima Prova intermedia Soluzioni. 1) (Esercizio da 8 punti) Soluzione da scrivere 2) (Esercizio da 12 punti) (a) Calcolare l’inversa della matrice A =   1 −a −b −c 0 1 −a −b 0 0 1 −a 0 0 0 1   (b) Determinare il vettore delle coordinate di v = [x, y, z, w]T rispetto alla base di R4 formata dalle colonne di A. Soluzione Osserviamo che risolvere (a) o (b) ` e sostanzialmente equivalente: infatti il vettore X(v) delle coordinate di v = [x, y, z, w]T rispetto alla base di R4 formata dalle colonne di A ` e l’unica soluzioneX = X(v) del sistema AX = v. Quindi, se si ` e risolto (a), si risolve (b) calcolando X = A−1v; se invece si ` e trovato X(v), la matrice inversa ` e A−1 = [ X(e1) X(e2) X(e3) X(e4) ] Procediamo in questo secondo modo, risolvendo il sistema AX = v col metodo di sostituzione all’indietro visto che la matrice A ` e triangolare alta (e quindi a scala). Il vettore delle incognite ` eX = [t1, t2, t3, t4]T , mentre il termine noto ` e v = [x, y, z, w]T :    t4 = w t3 = z + at4 = z + aw t2 = y + at3 + bt4 = y + az + (a2 + b)w t1 = x + at2 + bt3 + ct4 = x + ay + (a2 + b)z + (a3 + 2ab + c)w Quindi X(v) =   x + ay + (a2 + b)z + (a3 + 2ab + c)w y + az + (a2 + b)w z + aw w   La prima colonna di A−1 si ottiene prendendo v = e1, cio` e ponendox = 1 e y = z = w = 0, la seconda ponendo v = e2, eccetera: A−1 = [ X(e1) X(e2) X(e3) X(e4) ] =   1 a a 2 + b a 3 + 2ab + c 0 1 a a 2 + b 0 0 1 a 0 0 0 1   3) (Esercizio da 6 punti) Siano: I la matrice identit` a 4× 4 e U una matrice 4 × 4 tale che U4 = O. Mostrare che (I − U)−1 = I + U + U2 + U3. Si pu` o usare questa formula per calcolare l’inversa della matrice dell’esercizio prece- dente? Giustificare la risposta. Soluzione Per mostrare…