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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Algebra lineare e geometria Prova intermedia Docente: 1 luglio 2010 Cognome: Nome: Matricola: • Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. T utte le risposte devono essere giustificate 1. Si considerino la matrice A =   1 1 1 −2 0 1   e il vettore b = [1 , 3, −2]T . Determinare la proiezione di b sullo spazio delle colonne di A. Scomporre il vettore b come b = v + w con v appartenente allo spazio colonna Col(A) e w appartenente al sottospazio ortogonale a Col( A). Soluzione. Lo spazio colonna della matrice ha dimensione due, e un vettore perpendi- colare allo spazio colonna ` e n = [1, −1, −3]T . La proiezione ortogonale di b sulla retta perpendicolare allo spazio colonna ` e w = bT n nT n = 4 11 [1, −1, −3]T La proiezione ortogonale di b sullo spazio colonna ` e perci` o: v = b − w = 1 11 [7, 37, −10]T 2. Data la matrice A =   2 h 2 k 1 2 h 0 1   a) per quali valori dei parametri reali h, k la matrice A ammette 1 come autovalore? b) in corrispondenza dei valori trovati, discutere quando A ` e diagonalizzabile e de- terminare, quando esiste, una base di R3 formata da autovettori di A. c) posto h = 0, k = 1, esiste una matrice ortogonale Q tale che QA = DQ, dove D = diag(1, 1, 2)? Soluzione. a) La matrice A ammette 1 come autovalore se e solo se det( A − I) = 0. Siccome det(A − I) = 2 h2, la matrice ha l’autovalore 1 se e solo se h = 0. b) Quando h = 0, il polinomio caratteristico della matrice A ` e−(λ − 1)2(λ − 2). La matrice ha quindi l’autovalore semplice λ = 2, e l’autovalore λ = 1 con molteplicit` a algebrica 2. La matrice ` e diagonalizzabile se e solo se λ = 2 ha molteplicit` a geometrica 2, cio` e…