Soluzionisecondaprovainitinere2014 MTM30giugno

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Es. 1 Es. 2 Es. 3 T otale Algebra lineare e Geometria Seconda Prova intermedia Ingegneria Matematica 30 giugno 2014 Cognome: Nome: Matricola:  Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. T utte le risposte devono essere giusti cate 1. Si stabilisca per quali valori del parametro reale k la matrice A = 2 4 1 k 3 0 8 0 9 3 11 3 5  e diagonalizzabile. Per tali valori si trovi una matrice S tale che S 1AS  e una matrice diagonale D, e si scriva la matrice D. Soluzione Per scrivere il polinomio caratteristico di A, conviene calcolare il determi- nante di A I con lo sviluppo di Laplace rispetto alla seconda riga che contiene due zeri: 1  k 3 0 8  0 9 3 11  = (8 ) ((1 + )( 11) + 27) = (8 )(2 10+16) = ( 8)2( 2) Quindi A ha un autovalore doppio 1 = 8 e uno semplice 2 = 2, ed  e diagonalizzabile se e solo se la molteplicit a geometrica g8 dell'autovalore doppio  e uguale a 2. Ora g8 = 3 r 0 @ 2 4 9 k 3 0 0 0 9 3 3 3 5 1 A = 8 >< >: 2 se k = 3; 1 se k ̸= 3: La conclusione  e cheA  e diagonalizzabile se e solo sek = 3. Posto k = 3, l'autospazio relativo a  = 8  e il piano di equazione 3 x + y z = 0. I due vettori v1 = [1 ; 3; 0]T e v2 = [1; 0; 3]T formano una base di tale autospazio. L'autospazio relativo a  = 2 ha equazioni x + y z = y = 0, e quindi  e la retta generata da v3 = [1; 0; 1]T . Detta S la matrice che ha per colonne v1, v2 e v3, D = S 1AS = 2 4 8 0 0 0 8 0 0 0 2 3 5 perch ev1 e v2 sono autovettori di A relativi all'autovalore 1 = 8, e v3  e un autovettore relativo all'autovalore 2 = 2. 2. Si considerino le forme quadratiche nella variabili x; y: q0(x; y) = x2 + 4xy + 5y2; q (x; y) = 2 x2 + 4xy y2 2.a) Mostrare che…