Studio di funzioni

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Analisi e Geometria 1 Politecnico di Milano – Ingegneria Esercizi – F unzioni 1. Calcolare la derivata delle funzioni: (a) f (x) = 1 2 ln tg x 2 − cos x 2 sin2 x (b) f (x) = √ x2 + x − ln(√x + √ 1 + x) 2. Dimostrare che la funzione f (x) = arctan 1 − x2 1 + x2 + arctan 1 + x2 1 − x2 ` e costante a tratti. 3. Mostrare che l’equazione 2 − √x 1 + √x − x √ ex √2 + ex = 0 possiede almeno una soluzione nell’intervallo [0 , 1] . 4. Mostrare che la funzione f (x) = 2 − (1 + x)ex 1 + ex possiede esattamente uno zero sull’intervallo [0 , 1] . 5. Sia f : R → R la funzione definita da f (x) = 1 + 3x + 4x2 1 + x2 . (a) Studiare la funzione f . (b) Determinare l’immagine di f . (c) Stabilire se i punti di flesso di f sono allineati. (d) Scrivere l’equazione della retta tangente per x = 1 e per x = −1 . (e) Scrivere lo sviluppo di MacLaurin troncato al secondo ordine di f , con resto secondo Peano. 6. Sia f : R → R la funzione definita da f (x) = √ 8 + x2 2 + 4x2 . (a) Mediante la definizione, dimostrare che f ` e decrescente sull’intervallo (0, +∞ ) . (b) Dimostrare che l’immagine f (I) dell’intervallo I = [ −2, −1] ` e in intervallo chiuso e limitato. (c) Determinare l’immagine di f . 1 7. Sia f : R → R la funzione definita da f (x) = 2 ex + x2 4 ex + x2 . (a) Studiare la funzione f (senza studiare la derivata seconda). (b) Determinare l’immagine di f . (c) Determinare (se esistono) l’estremo inferiore e l’estremo superiore di f . (d) Dimostrare che l’equazione f (x) + (x − 1) ex = 0 possiede almeno una soluzione sull’intervallo [0, 1] . (e) Scrivere lo sviluppo di MacLaurin troncato al secondo ordine di f , con resto secondo Peano. 8. Sia f : R → R la funzione definita da earctan x 1 + x2 . (a) Studiare la funzione f . (b) Determinare l’immagine di f . (c) Determinare (se esistono)…