Tema 21 Giugno 2019 soluzioni

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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Totale Algebra lineare e Geometria – A.A. 2018-2019 Docente: 21 giugno 2019 Cognome: Nome: Matricola: Ogni risposta deve essere opportunamente giustificata. La soluzione degli esercizi deve essere riportata su questi fogli, nello spazio disponibile sotto il testo dell’esercizio. I fogli di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e apparecchiature elettroniche. Esercizio 1. • Si determini, in funzione della coppia di parametri reali ( a, b) il numero delle soluzioni del sistema lineare    x− 2y + z = 2 x + y + 2z = 7 2x− 13y + az = b • Per il valore di ( a, b) per cui l’insieme delle soluzioni del sistema ` e una retta ℓ, si determini un’equazione del piano H che contiene ℓ e il punto (1 , 1, 1). SOLUZIONE ♥ 1 di 8 ♥ ♥ 2 di 8 ♥ Esercizio 2. Sia V lo spazio vettoriale delle matrici della forma [a b 0 c ] dove a, b e c sono numeri reali. Posto B = [ 1 2 0 1 ] , si consideri l’endomorfismo L : V→ V definito da L(A) = AB + BA. Si verifichi cheL ha un unico autovalore, e si determini una base del corrispondente autospazio di L. Suggerimento: si fissi una base di V e si facciano i conti sulla matrice rappresentativa di L rispetto a tale base. SOLUZIONE ♥ 3 di 8 ♥ ♥ 4 di 8 ♥ Esercizio 3. Si consideri la forma quadratica q(x, y, z) = x2 + y2 + 5z2− 18xy + 10xz− 10yz . • Detta A la matrice simmetrica che rappresenta la forma quadratica q(x, y, z), si verifichi che det( A) = 0 e che [1, 1, 0]T ` e un autovettore diA. • Si determini una base ortonormale di R3 formata da autovettori di A. • Si calcolino il massimo e il minimo del quoziente di Rayleigh q(x, y, z) x2 + y2 + z2 su R3\{ (0, 0, 0)}. • Si calcoli la proiezione ortogonale di [0 , 0, 1]T sullo spazio colonna di A. SOLUZIONE ♥ 5…