tema desame del 19 Luglio 2018

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Analisi e Geometria 2 - 19 Luglio 2018 Ogni risposta deve essere giustificata ed i calcoli riportat i. Gli esercizi vanno svolti su fogli forniti dal docente. I fogli di brutta non dev ono essere conseg- nati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quad erni, calcolatrici e apparecchiature elettroniche. Versione 1 Esercizio 1. Sia fk : R3 − → R3 la trasformazione lineare rappresentata, rispetto alla base canonica, dalla matrice Ak =   − 3 0 k 0 − 5 0 − 4 0 3   k ∈ R. a) Determinare, al variare di k, la dimensione ed una base sia dell’immagine sia del nucleo di fk; dire per quali valori di k la trasformazione ` e suriettiva, iniettiva, biiettiva. b) Per quali valori di k esiste una base ortonormale di R3 di autovettori per fk? Nel caso, trovarla. Soluzione. Riduciamo la matrice Ak per righe, effettuando l’operazione R3 → R3 − 4 3 R1, ed otteniamo   -3 0 k 0 -5 0 − 4 0 3 − 4 3 k   , con gli elementi speciali in riquadro. Se 3 − 4 3 k ̸= 0, allora r(Ak) = 3, altrimenti r(Ak) = 2. In conclusione, essendo dim(Im( fk)) = r(Ak), abbiamo che dim(Im(fk)) = { 3 se k ̸= 9 4 2 se k = 9 4 . Dal Teorema del Rango, si ha che dim(ker(fk)) = { 0 se k ̸= 9 4 1 se k = 9 4 . Sapendo che fk ` e iniettiva se, e solo se, dim( ker(fk)) = 0 ed ` e suriettiva se, e solo se, dim(Im(fk)) = dim( R3) = 3, ed ` e invertibile se, e solo se, si verificano entrambe le condizioni, possiamo affermare che le tre propriet` a sono vere se, e solo se, k ̸= 9 4. Per quanto riguarda le basi dell’immagine, prendiamo le colonne su cui c ompaiono gli elementi speciali, e quindi, se k ̸= 9 4,una base ` e BIm(fk) = ((− 3, 0, − 4), (0, − 5, 0), (k, 0, 3)), mentre, se k = 9 4, allora una base ` e BIm(fk) = ((− 3, 0, − 4), (0, − 5, 0)). Per quanto riguarda il nucleo, se k ̸= 9 4, allora Bker(fk) = ∅.…