Teoria degli insiemi

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INSIEMI Quello di insieme ` e un concetto primitivo: questo vuol dire che non si pu` o dare la definizione di insieme senza ricorrere ad altri concetti che a loro volta non potrebbero essere definiti. La stessa cosa vale, per esempio, in geometria per il concetto di punto. Si pu` o pensare ad un insieme come a un gruppo, una collezione, una famiglia di oggetti, che vengono chiamati elementi dell’insieme. Un insieme A, quindi, ` e formato da elementi e per poter dire di aver assegnato l’insieme A, bisogna aver dato dei criteri secondo i quali si possa essere in grado di stabilire se un elemento appartenga o meno a A. Per esempio hanno senso matematicamente: • A=l’insieme dei punti di un piano • B=l’insieme dei cittadini italiani • C=l’insieme dei numeri interi positivi • D=l’insieme dei numeri interi che siano contemporaneamente pari e dispari. Si osservi che non ci sono numeri interi che siano contemporaneamente pari e dispari, per cui l’insieme D, sebbene sia ben definito, ` e privo di elementi: D non ` e altro che l’insieme vuoto, che ` e l’unico insieme privo di elementi e si denota con il simbolo ∅. Per esprimere la circostanza che un elemento appartenga ad un insieme, si usa il simbolo di appartenenza “ ∈ ” si legge: “appartiene” oppure “` e elemento di”. Per esempio si pu` o scrivere che 5 ∈ C. Si osservi che frasi del tipo: “la strada ` e l’insieme dell’asfalto che contiene” oppure “un litro ` e l’insieme di 10 decilitri”, non definiscono insiemi. Per assegnare un insieme X si possono elencare i suoi elementi oppure enunciare una propriet` a caratteristica, ovvero una propriet` a verificata da tutti e soli gli elementi di A. Per esempio: X = {a, b, 3, ∗, − 1, 0} Y = {a, b, c, . . . , u, v, z } = {x : x ` e una lettera dell′alfabeto italiano }. L’insieme Y ` e stato…