testo appello luglio 2009

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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Es. 5 T otale Algebra lineare e geometria Primo appello Docente: E. Schlesinger 14 luglio 2009 Cognome: Nome: Matricola: • T utte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. 1. Sia H il piano di R3 di equazione 3 x − y + z = 0. Scrivere il vettore v =   1 2 3   come somma di un vettore di H e di un vettore perpendicolare ad H. 2. Sia {e1, e2, e3, e4}la base canonica di R4, e sia T :R4 − →R4 l’applicazione lineare tale che T(e1) = e1, T(e2) = 0, T(e3) = e2, T(e4) = e3 (a) Scrivere la matrice A che rappresenta T rispetto alla base canonica. (b) Determinare la dimensione dell’immagine di T e una base del nucleo di T. (c) Scrivere la matrice che rappresenta T2 = T ◦ T rispetto alla base canonica. (d) Determinare la dimensione dell’immagine di T2 e una base del nucleo di T2. (e) Determinare la dimensione dell’immagine di Tn e una base del nucleo di Tn, per ogni n ≥ 3. 3. Per quali valori del parametro reale a la matrice A =   10 2 a a 0 9 2 0 2 6   ` e diagonalizzabile? Per tali valori si determini, se possibile, una base ortonormale di R3 formata da autovettori di A. 4. Si determini il valore minimo del quoziente di Rayleigh R(x, y, z) = 10x2 + 9y2 + 4yz + 6z2 x2 + y2 + z2 al variare di ( x, y, z) nell’insieme dei vettori non nulli di R3. 5. Sia A una matrice quadrata. Supponiamo che la somma dei coefficienti di ciascuna colonna sia uguale a 18. Mostrare che 18 ` e un autovalore di A.