testo appello settembre 2009

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Es. 1 Es. 2 Es. 3 T otale Algebra lineare e geometria Secondo appello Docente: E. Schlesinger 11 settembre 2009 Cognome: Nome: Matricola: • T utte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. 1. Sia A una matrice di tipo ( m, n) di rango r. Si dica se le seguenti affermazioni sono vere o false, giustificando le risposte. (a) Se il sistema lineare Ax = b ammette soluzione per ogni b ∈Rm, allora r = m. (b) Se n = m ed esiste b1 ∈Rn per cui il sistema Ax = b1 ammette pi` u di una soluzione, allora esiste b2 ∈Rn per cui il sistema Ax = b2 non ammette alcuna soluzione. (c) Se esiste b1 ∈Rm per cui il sistema Ax = b1 ammette infinite soluzioni, allora il sistema Ax = b ammette infinite soluzioni per ogni b ∈Rm. 2. Sia T :R3 − →R3 l’applicazione lineare rappresentata dalla matrice A =   2 2 −2 2 5 1 −2 1 5   (a) Si trovino una matrice ortogonale Q e una matrice diagonale D tali che A = QDQT Tale decomposizione ` e una decomposizione in valori singolari di A? (b) Si scrivano una base del nucleo e una base dell’immagine di T. (c) Si calcoli la matrice A+ pseudoinversa di A. 3. Una matrice quadrata N si dice nilpotente se esiste un intero positivo m tale che Nm sia la matrice nulla. (a) Sia N una matrice nilpotente. Si mostri che λ = 0 ` e l’unico autovalore di N. (b) Si mostri che una matrice simile a una matrice nilpotente ` e nilpotente. (c) Sia N una matrice nilpotente di ordine 2. Si mostri che N ` e simile a una matrice U della forma U = [0 b 0 0 ] . Si concluda che N2 ` e la matrice nulla. (d) Sia U = [uij] una matrice quadrata di ordine n. Si supponga che U sia triangolare superiore con gli elementi sulla diagonale principale…