Testoappello4febbraio2015

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Es. 1: Es. 2: Es. 3: Es. 4: T otale Algebra lineare e Geometria Ingegneria Matematica 4 febbraio 2015 Cognome: Nome: Matricola:  Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. T utte le risposte devono essere giusti cate. NON E' CONSENTITO L'USO DI TELEFONI CELLULARI O DI ALTRI APP ARECCHI ELETTRONICI. 1. Per quali valori del parametro reale a la matrice A = 2 4 0 2 2 a + 2 2 2 a 1 5 3 5  e diagonalizzabile? Per tali valori si determini una base di R3 formata da autovettori di A. 2. Sia V lo spazio euclideo dei polinomi reali P (x) = a0 + a1x + a2x2 di grado minore o uguale a 2, col prodotto scalare ⟨P; Q⟩ = ∫ 1 0 P (x)Q(x) dx: Scrivere il polinomio x2 come somma di un polinomio della forma a + ax e di un polinomio ortogonale a 1 + x. 3. Sia fe1; e2; e3; e4g la base canonica di R4, e siano T; U : R4 !R4 le applicazioni lineari de nite da T(e1) = 2 e1; T(e2) = 2 e2 + e1; T(e3) = 2 e3 + e2; T(e4) = 5 e4 e U(e1) = 2 e1; U(e2) = 2 e2 + e1; U(e3) = 5 e3; U(e4) = 5 e4 + e3 (a) Scrivere le matrici A e B che rappresentano T e U rispetto alla base canonica. (b) Determinare gli autovalori di A e di B e una base per ciascuno autospazio di A e di B. (c) Stabilire se A e B sono simili. 4. Sia A una matrice quadrata che soddis l'equazione A3 + 2A2 + A = O: Dimostrare che, se  un autovalore di A, allora  = 0 oppure  = 1. Es. 1: Es. 2: Es. 3: Es. 4: T otale Algebra lineare e Geometria Ingegneria Matematica 4 febbraio 2015 Cognome: Nome: Matricola:  Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. T utte le risposte devono essere giusti cate.…