Testoappellosettembre2010

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Es. 1 Es. 2 Es. 3 T otale Algebra lineare e geometria Secondo appello Docente: 9 settembre 2010 Cognome: Nome: Matricola: • Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. T utte le risposte devono essere giustificate Esercizio 1 (14 punti) Si consideri la matrice A = 1 2   1 1 −1 1 1 1 1 −1 −1 1 1 1 1 −1 1 1   1a) posto V1 = Ker( A − I) e V−1 = Ker( A + I), determinare una base di V1 e una base di V−1, e verificare che dim V1 + dim V−1 = 4; 1b) qual ` e il polinomio caratteristico di A? (sugg: utilizzare il punto precedente); 1c) determinare se possibile una matrice ortogonale Q e una matrice diagonale D tali che QT AQ = D; Esercizio 2 (10 punti) In questo esercizio, Rn denota l’insieme dei vettori colonna con n componenti reali, e M lo spazio vettoriale delle matrici n × n a elementi reali. 2a) l’insieme delle matrici simmetriche di ordine n ` e un sottospazio vettoriale diM? l’in- sieme delle matrici ortogonali ` e un sottospazio vettoriale diM? Giustificare la risposta. 2b) mostrare che, se w ` e un vettore non nullo diRn, la matrice Q = I − 2 wT w w w T ` e una matricen × n ortogonale e simmetrica; 2c) scrivere la matrice Q del punto 2 a) quando n = 3 e w ` e un vettore perpendicolare al sottospazio di equazione x1 + x2 − x3 = 0. Esercizio 3 (9 punti) In questo esercizio tutte le matrici hanno come elementi dei numeri reali. 3a) Mostrare che gli autovalori di una matrice ortogonale hanno modulo uno. 3b) Mostrare che, se λ ` e un autovalore di una matrice ortogonale simmetrica, allora λ = 1 oppure λ = −1. 3c) Sia A una matrice ortogonale simmetrica di ordine n, e siano V1 = Ker( A − I) e V−1 = Ker( A + I). Siano P1 e P2 le matrici delle…