Testoappellosettembre2011

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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Algebra lineare e geometria Docente: I. Sabadini 7 settembre 2011 Cognome: Nome: Matricola: • Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. T utte le risposte devono essere giustificate 1. Si consideri la matrice A =   3 0 0 0 1 k 0 2 4   a) per quali valori di k il vettore [0 , 2, −1]T ` e un autovettore diA? b) per i valori di k determinati nel punto precedente, si dica se esistono una matrice ortogonale Q e una matrice diagonale D tali che D = QT AQ e, in caso affermativo, determinarle. c) Si determinino il valore massimo e minimo assoluto della funzione R(x, y, z) = 3x2 + y2 + 4yz + 4z2 4x2 + y2 + z2 al variare di ( x, y, z) in R3 \ {(0, 0, 0)}. 2. In R3 si considerino il sottospazio V generato dai vettori v = [2 , 1, −1]T e w = [1, −1, 1]T e il sottospazio U di equazione x + y − z = 0. a) Determinare la dimensione e una base di V ∩ U ; b) fissata la base canonica in R3 determinare una matrice A associata ad un’appli- cazione lineare da R3 in s` e aventeV come spazio immagine; c) fissata la base canonica in R3 determinare una matrice B associata ad un’appli- cazione lineare da R3 in s` e aventeU come nucleo; d) stabilire se esiste un’applicazione lineare da R3 in s` e che abbia V come spazio immagine e U come nucleo. 3. Si considerino in R4 il vettore v = [2 , 3, 0, −2]T e il sottospazio U generato da u1 = [1, −1, 1, 0]T , u2 = [0, 0, 1, 1]T , u3 = [1, 1, 0, 1]T . Determinare il vettore del sottospazio U pi` u vicino av. 4. Sia A una matrice quadrata ad elementi complessi e sia AH la sua aggiunta. Si dice che A ` e anti-hermitiana seAH = −A. Mostrare che: a) ogni matrice a elementi complessi si scrive come somma…