First midterm exam for Algebra Lineare e Geometria in the Mathematical Engineering degree programme at Politecnico di Milano. The document covers: Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Algebra lineare e Geometria Prima Prova intermedia Ingegneria Matematica 26 aprile 2012 Cognome: Nome: Matricola: • Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta a
First midterm exam for Algebra Lineare e Geometria in the Mathematical Engineering degree programme at Politecnico di Milano. The document covers: Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Algebra lineare e Geometria Prima Prova intermedia Ingegneria Matematica 26 aprile 2012 Cognome: Nome: Matricola: • Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta a
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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Algebra lineare e Geometria Prima Prova intermedia Ingegneria Matematica 26 aprile 2012 Cognome: Nome: Matricola: • Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. T utte le risposte devono essere giustificate 1. Find a basis of the subspace of R4 spanned by the vectors 1 3 0 1 , 1 4 1 1 , 1 1 −2 1 , 1 2 −1 1 2. (a) Compute the inverse of the matrix A = 1 2 3 4 0 1 2 3 0 0 1 2 0 0 0 1 (b) Find the coordinate vector of v = [ x, y, z, w]T with respect to the basis of R4 consisting of the columns of A. 3. Let I denote the 4 × 4 identity matrix, and let U be a 4 × 4 matrix such that U4 = O. Show that (I + U)−1 = I − U + U2 − U3. Can one use this formula to compute the inverse of the matrix A in the previous exercise? Justify the answer. 4. (a) Let A and B be m × n matrices. Show that rk(A + B) ≤ rk(A) + rk(B). (b) Let v and w be linearly independent vectors in Rn. Show that rk(vvT + wwT ) = 2 . Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Algebra lineare e Geometria Prima Prova intermedia Ingegneria Matematica 26 aprile 2012 Cognome: Nome: Matricola: • Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. T utte le risposte devono essere giustificate 1. Determinare una base del sottospazio di R4 generato dai vettori 1 3 0 1 , 1 4 1 1 , 1 1 −2 1 , 1 2 −1 1
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