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Es. 1 Es. 2 T otale Algebra lineare e Geometria Prima Prova intermedia Ingegneria Matematica 8 maggio 2014 Cognome: Nome: Matricola: Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. T utte le risposte devono essere giusti cate 1. 1.a) Per quali valori di h il sistema lineare 8 >< >: x1 + x2 + 7x3 + 4x4 = 3 x1 + 2x2 + 11x3 + 6x4 = h 2x1 + x2 + 10x3 + 6x4 = 1 ammette soluzioni? Per tali valori si determinino le soluzioni del sistema. 1.b) Detta A la matrice dei coefficienti del sistema, si determinino dimensione e tre basi distinte dello spazio colonna Col( A) di A. 1.c) Per quali valori di h il vettore b = [3; h; 1]T appartiene a Col( A)? Per tali valori si scriva il vettore delle coordinate di b rispetto a ciascuna delle tre basi di Col( A) determinate al punto b). 2. Sia V lo spazio vettoriale dei polinomi P (x) = a + bx + cx2 + dx3 di grado minore o uguale a tre, e sia L : V ! V la funzione de nita da L(P (x)) = P (2)(1 + x3) + (1 + x)P ′(x): 2.a) Mostrare che L e lineare. 2.b) Scrivere la matrice che rappresenta L rispetto alla base B = f1; x; x2; x3g di V. Determinare il rango di L e una base del nucleo di L. 2.c) Stabilire la dimensione di Im( L) \ Ker(L).
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