Testosecondaprova2011

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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Algebra lineare e geometria 2a Prova intermedia Docente: I. Sabadini 5 Luglio 2011 Cognome: Nome: Matricola: • Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. T utte le risposte devono essere giustificate 1. Sia A una matrice reale e simmetrica di ordine 3 con autovalori 0 , −2, 3 e siano, rispettivamente, u, v, w autovettori unitari ad essi associati. (a) Determinare il nucleo, lo spazio colonna e lo spazio riga della matrice A, in termini di u, v, w; (b) determinare tutti i vettori x tali che Ax = 3v − w; (c) caratterizzare i vettori b per cui il sistema Ax = b ha soluzione. La soluzione, quando esiste, pu` o essere unica? 2. Si consideri il sistema lineare    x − 2y = 4 x − y = −2 x + y = 1 (1) (a) verificare che il sistema ` e sovradeterminato; (b) determinare la soluzione ai minimi quadrati del sistema e stabilire se ` e unica; (c) detta A la matrice dei coefficienti del sistema, determinare il vettore di Col( A) pi` u vicino a [4, −2, 1]T . 3. Si consideri la matrice M =   1 0 0 −1 k 0 0 k k   . (a) Stabilire per quali valori del parametro reale k la matrice M ` e diagonalizzabile; (b) posto k = 0 stabilire se esiste una matrice X non singolare tale che MX = XD con D diagonale. In caso affermativo determinare una matrice X siffatta. 4. (Usare il retro del foglio per lo svolgimento). Sia E una matrice di ordine n idempotente, ovvero tale che E2 = E. (a) Verificare che ogni vettore di Rn si scrive in un unico modo come somma di un vettore di Col( E) e di un vettore di Ker( E); (b) mostrare che Col( E) ` e l’autospazio di E relativo all’autovalore 1, mentre Ker( E) ` e l’autospazio diE relativo all’autovalore 0.…