Vandermonde

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286 Capitolo 6. Determinante c⃝ 978-88-08-06485-1 la matrice A∗ ` e A∗ = [ d −b −ca ] Se ad − bc ̸= 0, ritroviamo la formula per l’inversa A−1 = 1 ad − bc [ d −b −ca ] COROLLARIO 5.4 (F ormula di Cramer) Un sistema quadrato Ax = b con det( A) ̸= 0 ammette l’unica soluzione v = [x1,...,x n]T di componenti xi = det(Ai) det(A) dove Ai ` e ottenuta sostituendo la colonna i di A col termine noto b. Dimostrazione. Poich´ eA ha determinante non nullo, il sistema ammette un’unica solu- zione v = A−1b = 1 det(A) A∗b Sviluppando il determinante di Ai rispetto alla colonna i si trova che det( Ai)`e uguale al prodotto della riga i di A∗ con b, quindi xi(v)= det(Ai) det(A) Esempio Determinante di V andermonde Fissati d scalari x1,...,x d, consideriamo la matrice, detta di Vandermonde (5.5) V(x1,...,x d)= ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 x1 x2 1 ... x d−1 1 1 x2 x2 2 ... x d−1 2 . . . . . . . . . . . . . . . 1 xd x2 d ... x d−1 d ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ Il determinante di questa matrice, detto determinante di Vandermonde,`e il prodotto di tutte le differenze xj − xi con j>i : (5.6) det( V(x1,...,x d)) = ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ 1 x1 x2 1 ... x d−1 1 1 x2 x2 2 ... x d−1 2 . . . . . . . . . . . . . . . 1 xd x2 d ... x d−1 d ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ = ∏ 1≤i<j≤d (xj − xi) In particolare, le righe della matrice di Vandermonde sono linearmente indipendenti se e solo se gli scalari x1,...,x d sono distinti. La formula (5.6) si pu` o dimostrare per induzione con un calcolo brutale. I primi casi sono: Caso d =2 ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ 1 x1 1 x2 ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ = x2 − x1 c⃝ 978-88-08-06485-1 5 Sviluppi di Laplace 287 Caso d =3 ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ 1 x1 x2 1 1 x2 x2 2 1 x3 x2 3 ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ = (sottraggo la prima riga alle altre) = ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ 1 x1 x2 1 0 x2 − x1 x2 2 − x2 1 0 x3 − x1 x2 3 − x2 1 ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ = (Laplace rispetto alla prima colonna) = ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ x2 − x1 x2…