Vector fields

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Campi vettoriali 1. Sia ⃗F (x, y) = yex⃗i + (ex − cos y)⃗j un campo vettoriale. Determinare un potenziale per ⃗F , se esiste. 2. Sia ⃗F (x, y) = xy⃗i + 1 2 x2⃗j un campo vettoriale. Determinare un potenziale per ⃗F , se esiste. 3. Sia ⃗F (x, y) = xy⃗i + y⃗j un campo vettoriale. Calcolare l’integrale di ⃗F lungo una circonferenza con centro sull’asse y; ⃗F ammette potenziale? 4. Sia γ l’arco di ellisse di equazione parametrica x = 2 cos θ, y = 3 sin θ, 0 ≤ θ ≤ π, e sia ⃗F (x, y) = (3 x2 + y2)⃗i + 2xy⃗j un campo vettoriale. a) Calcolare il lavoro di ⃗F lungo γ. b) Calcolare un potenziale per ⃗F , se esiste. c) Utilizzare il potenziale per calcolare nuovamente il lavoro. 5. Sia ⃗F (x, y) = y2 − x2 (x2 + y2)2 ⃗i − 2xy (x2 + y2)2 ⃗j. a) Verificare che ⃗F ` e irrotazionale in R2 \ {(0, 0)}. b) Calcolare un potenziale per ⃗F , se esiste. c) Calcolare il lavoro di ⃗F lungo l’arco di curva γ di equazione parametrica x = R cos t, y = R sin t, 0 ≤ t ≤ π. 6. Sia ⃗F (x, y) = ( y2 − 1 x ) ⃗i + ( 2xy + 1 y ) ⃗j. Verificare che ⃗F ` e conservativo in E = {(x, y) ∈R2 : x > 0, y > 0}, e determinare un potenziale. 7. Sia ⃗F (x, y) = ( 1 x − 2 + x 3√x2 + y2 ) ⃗i + ( y2 + y 3√x2 + y2 ) ⃗j. a) Determinare la pi` u ampia regioneD ⊆R2 in cui ⃗F ` e di classeC1. b) Si verifichi che in tale regione ⃗F ` e irrotazionale. 8. Sia ⃗F (x, y) = xy2f (x)⃗i − y log |f (x)|⃗j. Determinare f ∈ C 1(R) in modo che ⃗F sia conservativo in R2, e determinare il potenziale che si annulla in (0 , 1). Si calcoli ∫ γ ⃗F d s, dove γ ` e una curva congiungente i punti (0, 1) e (1 , 2). 9. Sia ⃗F (x, y) = x x2 + y2 ⃗i + y x2 + y2 ⃗j. a) Determinare un potenziale per ⃗F , se esiste. b) Si calcoli ∫ γ ⃗F d s, dove γ ` e la circonferenza di centro l’origine e 1 raggio 1 percorsa in senso antiorario. c) Si calcoli ∫ γ ⃗F ds…