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Esercizio – 30pt – 60’ Si consideri il problema differenziale:    −u′′(x) + x2 u′(x) + 3u(x) = f(x) x∈ (0, 1), u(0) = 0, (1) u′(1) = e, dove f(x) = ( x2 + 2 ) ex− 3. 1 – 4 pt Si scriva la formulazione debole del problema (1) motivando i tutti passaggi svolti, la scelta dello spazio funzionale V e della norma corrispondente. Si definiscano la forma a(·,·) e il funzionale F (·). 2 – 11 pt Si enunci con precisione il teorema (lemma) di Lax–Milgram. In seguito, motivando dettagliatamente tutti i passaggi svolti, si mostri che la forma a(·,·) introdotta al punto 1) ` e: • coerciva; • continua. 3 – 4 pt Si scriva il problema di Galerkin–Elementi Finiti di grado r = 1 per il problema debole di cui al punto 1). Si specifichi in particolare il sottospazio Vh in cui viene cercata la soluzione approssimata uh. Si disegnino inoltre le funzioni di base dello spazio di tale sottospazio Vh con- siderando una partizione uniforme di [0 , 1] con passo h = 1/4. 1 4 – 4 pt Si utilizzi opportunamente la libreria FeM4MeC per risolvere il problema (1) tramite il metodo degli Elementi Finiti di grado r = 1 definiti su una partizione uniforme di [0, 1] con passo h = 1/4. Si riportino i valori della soluzione approssimata uh(x) quando valutata in x = 5 8 eˆx = 1 (si indichino i risultati con almeno 4 cifre decimali). 5 – 4 pt Sempre utilizzando la libreria FeM4MeC e sapendo che la soluzione esatta del prob- lema (1) con i dati indicati ` e u(x) = ex, lo si risolva con il metodo degli Elementi Finiti di grado r = 1 per h = 1/4, 1/8, 1/16 e 1 /32. Si calcolino e si riportino gli errori eh =∥u− uh∥H1(0,1) ottenuti. 6 – 3 pt Si utilizzino gli errori eh ottenuti al punto 5 per stimare algebricamente l’ordine di convergenza del metodo. Si riportino il valore stimato e la procedura usata. Tale…