01 Vettori

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Esercitazione 01: Vettori e Unità di Misura Esercizio 1 Una particella si sposta da 𝐴(2,5,7) a 𝐵(4,3, −1). Si determinino i vettori posizione iniziale 𝒓𝑨 e finale 𝒓𝑩 rispetto all’origine e l’espressione del vettore spostame nto. Si determini inoltre l’espressione del versore che identifica la retta passante per i punti 𝐴 e 𝐵. [𝒓𝑨 = 2𝒖𝒙 + 5𝒖𝒚 + 7𝒖𝒛 𝑚; 𝒓𝑩 = 4𝒖𝒙 + 3𝒖𝒚 − 1𝒖𝒛 𝑚; 𝛥𝒓 = 𝒓𝑩 − 𝒓𝑨 = 2𝒖𝒙 − 2𝒖𝒚 − 8𝒖𝒛 𝑚] Esercizio 2 Un uomo parte da una casa e cammina per 4.0 𝑘𝑚 verso nord, per 3 𝑘𝑚 verso est, per 2√2 𝑘𝑚 verso sud-est. In che direzione deve muoversi e quale distanza deve percorrere per tornare a casa? [𝑠 = (−5, −2)] Esercizio 3 Dati i due vettori 𝒗1 = 3𝒖𝑥 + 4𝒖𝑦 – 5𝒖𝑧 e 𝒗2 = −𝒖𝑥 + 2𝒖𝑦 + 6𝒖𝑧 , si determinino a) l’angolo compreso tra essi b) Il prodotto scalare 𝒗1 ∙ 𝒗2 c) Il prodotto vettoriale 𝒗1 𝑥 𝒗2 d) Calcolare in forma analitica e grafica 𝒗1 − 𝒗1 e) Determinare il modulo di 𝒗1 + 𝒗1 f) La componente del vettore 𝒗3 = 𝒖𝑥 + 2𝒖𝑦 − 3𝒖𝑧 nella direzione e verso del vettore somma calcolato nel punto precedente. g) Calcolare l’area del parallelogramma che ha per lati i vettori 𝒗1 e 𝒗2 [𝑎) 𝜃 = 123°; 𝑏) − 25 𝑐) 34𝒖𝑥 – 13𝒖𝑦 + 10𝒖𝑧 𝑑) 4𝒖𝑥 + 2𝒖𝑦 − 11𝒖𝑧 𝑒) √41 𝑓) 1.72 𝑔) 37.7 ] Esercizio 4 La forza centripeta di un corpo che sta ruotando può dipendere dalla massa 𝑚 del corpo, dalla sua velocità 𝑣 e dal raggio di curvatura 𝑅 della traiettoria: possiamo capire come sia la dipendenza della forza da tali grandezze? [𝐹 = 𝑘 𝑚 𝑣2 𝑅−1] Esercizio 5 Si determinino le dimensioni della costante di gravitazione universale γ presente nella legge di gravitazione universale 𝐹𝑔 = 𝛾 𝑚1𝑚2 𝑟2 [[𝛾] = 𝑚3𝑘𝑔−1𝑠−2]