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Politecnico di Milano { Ingegneria Industriale Analisi e Geometria 1 Secondo compito in itinere { 2 F ebbraio 2015 Cognome: Compito A Nome: Matricola: Es.1: 12 punti Es.2: 8 punti Es.3: 12 punti T otale 1. (a) Determinare l'integrale generale dell'equazione differenziale y′(x) + xy(x) = x : (b) Determinare la soluzione y che assume valore massimo uguale a 2. (c) Veri care che la funzione integrale F de nita da F (x) = ∫ x 0 y(t) dt ammette un asintoto obliquo per x ! +1 . 2. Nello spazio riferito a un sistema di riferimento cartesiano Oxyz , sia r la retta rappresentata dalle equazioni parametriche 8 >< >: x = 2 3t y = 1 + t z = 1 + t e sia s la retta che si ottiene intersecando i due piani 1 : x z = 1 e 2 : x+y 2z 3 = 0 . (a) Scrivere le equazioni parametriche della retta s . (b) Determinare l'intersezione delle rette r ed s . (c) Scrivere l'equazione cartesiana del piano che contiene r ed s . 3. Sia la curva di R3 parametrizzata dalla funzione vettoriale f : [ 1; 1] ! R3 de nita da f (t) = (e t cos t; et sin t; et) per ogni t 2 [ 1; 1] . (a) Determinare la retta tangente r a nel punto P (1; 0; 1) . (b) Determinare il raggio e il centro della circonferenza osculatrice di nel punto P . (c) Determinare la lunghezza L di . (d) Determinare il momento di inerzia Iz di rispetto all'asse z , quando e dotata di densit a lineare di massa : ! [0; +1) , de nita da (x; y; z) = 1 jzj per ogni (x; y; z) 2 . Istruzioni: Non si possono consultare libri o appunti. Non si possono usare calcolatrici. Tutte le risposte devono essere motivate. I fogli di brutta non devono essere consegnati. T empo: 1 ora e 30 minuti. 1 Soluzioni 1. (a) Si tratta di un'equazione differenziale lineare del primo ordine 1, scritta nella forma y′(x) + p(x)y(x) = q(x) , dove p(x) = x e q(x) = x .…
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