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2 Maggio 2018 — Esercizi Esercizio 1 Cesare sa di vincere a ping pong contro Mario in ogni singola partita con probabilit` a 0.3; allora decide di giocare con Mario nel modo seguente. Il luned` ı di ogni settimana Cesare e Mario giocano 6 partite; se Cesare ne vince almeno 2 il gioco si ferma, altrimenti il mercoled` ı della stessa settimana Cesare e Mario giocano altre 6 partite. Si assuma che i risultati delle partite siano tra loro indipendenti. 1.1 Si determini la probabilit` a che Cesare e Mario giochino solo il luned` ı. Soluzione: Sia X la variabile “numero di partite vinte da Cesare, su sei disputate”, allora X∼ Bin(6; 0.3). Dunque P{solo luned` ı} = P{X≥ 2} = 1− (6 0 ) × (0.7)6− (6 1 ) × 0.3× (0.7)5 = 0.579. 1.2 Si determini la probabilit` a che giochino anche il mercoled` ı. Soluzione: P{anche mercoled` ı} = 1− P{solo luned` ı} = 0.421 1.3 Si determini la probabilit` a che, in una settimana in cui Cesare e Mario giocano sia il luned` ı sia il mercoled` ı, Cesare vinca esattamente 2 partite. Soluzione: L’evento considerato si verifica solo in due modi: Cesare vince esattamente una partita il luned` ı e una il mercoled` ı, oppure Cesare vince zero partite il luned` ı e due il mercoled` ı, per cui si ha che la probabilit` a cercata ` e P{X = 1}2 + P{X = 0}× P{X = 2} = ((6 1 ) × 0.3× 0.75 )2 + (6 0 ) × 0.76× (6 2 ) 0.32× 0.74 = 0.1296. 1.4 Si determini, in modo approssimato, la probabilit` a che, nell’arco di tutto l’anno (52 settimane), Cesare e Mario giochino anche il mercoled` ı per pi` u di 15 settimane. Soluzione: SiaY la variabile aleatoria “numero di settimane in cui Cesare e Mario giocano anche di mercoled` ı, Y ∼ Bin(52;p) con p = 0.421. Per il TLC la variabile Y segue approssimativamente una distribuzione Norm(µ,σ 2) con µ = E [Y ] = 52p = 21.892, e σ =…