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Docenti: D. Cassani, F. Cipriani, C. Perelli Cippo, I. Sabadini Analisi Matematica II - 02/09/10 Ing. Gestionale Cognome: Nome: Matricola: Numero d’ iscrizione: Non scrivere nel riquadro sottostante Esercizio 1. (a) Data l’applicazione lineareϕ : R3→ R3 tale cheϕ(x,y,z ) = (x+y+z, 2x−3y+2z,x +2y+z) scrivere la matrice rappresentativa di ϕ. (b) Determinare la dimensione ed una base di ker ϕ. (c) Stabilire se il vettore w =   −1 0 1   appartiene a ϕ(R3) e, in caso affermativo, determinare ϕ−1(w). (d) Scrivere la matrice rappresentativa di ϕ rispetto alla base di R3 data dai vettori v1 =   1 0 0   , v2 =   1 1 0   , v3 =   0 1 1  . Soluzione (a) La matrice che rappresenta ϕ rispetto alla base canonica di R3 ` e A =   1 1 1 2 −3 2 1 2 1   (b) Per quanto riguarda la dimensione di ker ϕ, ` e noto che dim kerϕ = 3− dim Imϕ = 3−ρ(A) dove ρ(A) ` e il rango della matrice A. Si pu` o osservare che ` e possibile estrarre da A un minore di ordine 2 avente determinante non nullo e che det A = 0, in quanto la prima e la terza colonna di A sono uguali. Quindi ρ(A) = 2 e di conseguenza dim kerϕ = 1. Per determinare una base di ker ϕ occorre risolvere il sistema omogeneo A   x y z   = 0 che ammette∞1 soluzioni tutte e sole della forma   α 0 −α  , α ∈ R. Pertanto una base di kerϕ ` e costituita, ad esempio, dal vettore   1 0 −1  . (c) Per stabilire se il vettore w appartiene a ϕ(R3), occorre risolvere il sistema non omogeneo A   x y z   =   −1 0 1  . La matrice incompleta associata al sistema ` e la matrice A che ha rango 2, mentre quella completa ` e la matrice B =   1 1 1 −1 2 −3 2 0 1 2 1 1  . Dato che det   1 1 −1 −3 2 0 2 1 1  ̸= 0, il rango di B ` e pari a 3. Poich` e il rango di A e quello di B sono diversi, il sistema non ammette…