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parte A Analisi Matematica II - 09 settembre 2014 - Ing. Gestionale Cognome: Nome: Matricola: Numero d'iscrizione: Non scrivere nel riquadro sottostante T utte le risposte devono essere giusti cate. La prova di teoria verr a giudicata nel suo com- plesso. Esercizio 1. (a) Dimostrare che una funzione f : A  R2 ! R; A aperto,  e differenziabile in un punto(x0; y0) 2 A allora  e anche derivabile in(x0; y0). Si veda, per esempio, Bramanti, Pagani, Salsa, Analisi Matematica 2, pag. 126, Proposizione 3.2, con n = 2. (b) Stabilire, motivando, se la funzione f (x; y) = x2y 4x y2  e differenziabile nel punto(1; 1). Una condizione sufficiente di differenziabilit a riguarda la continuit a delle derivate parziali di f nel punto (1; 1) : Poich ef 2 C 1(R2); come somma di funzioni C 1; f  e differenziabile in (1; 1): Si potrebbe procedere anche applicando la de nizione, ma sarebbe un'ingenuit a. Esercizio 2. (a) Dare la de nizione di inversa di una matrice. Data una matrice (quadrata) A si dice inversa di A e (si indica con A 1) una matrice che abbia la stessa forma di A e tale che: AA 1 = A 1A = I dove I  e la matrice identica che ha la stessa forma di A: (b) veri care, CON LA DEFINIZIONE, che la matrice A = [ 0 1 1 0 ]  e invertibile speci cando qual  e la matrice inversa. Vediamo se esiste una matrice [ a b c d ] tale che: [ 0 1 1 0 ] [ a b c d ] = [ 1 0 0 1 ] Si ottengono le seguenti relazioni: c = 1; d = 0; a = 0; b = 1: Ora  e facile veri care che AA 1 = [ 0 1 1 0 ] [ 0 1 1 0 ] = A 1A = [ 0 1 1 0 ] [ 0 1 1 0 ] = [ 1 0 0 1 ] Esercizio 3. (a) Enunciare un teorema che garantisca esistenza e unicit a della soluzione del problema di Cauchy per y′(x) = a(x)b(y); y(x0) = y0: (1) Per l'esistenza e l'unicit a del problema (1) basta che a(x) 2 C(U (x0)); b(y) 2 C 1(V (y0)):…