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Analisi Matematica II - 25 Giugno 2012 - Ing. Gestionale Cognome: Nome: Matricola: Numero d’iscrizione: Non scrivere nel riquadro sottostante Tutte le risposte devono essere giustificate. Esercizio 1 . Si consideri il problema di Cauchy { y′ = f (t; y) y(t0) = y0 1. Si fornisca una condizione sufficiente affinch´ e il problema abbia un’unica soluzione. 2. Si scrivano una funzione f (t; y) e un dato iniziale ( t0; y0) tali che il problema di Cauchy ammetta almeno due soluzioni. Scrivere tali soluzioni. Esercizio 2 Enunciare e dimostrare la formula del gradiente. Esercizio 3 Dare la definizione di punto di massimo relativo di una funzione f (x; y). Veri- ficare, usando la definizione, che l’origine non pu` o essere un punto di massimo della funzione f (x; y) = xy + x3. Analisi Matematica II - 25 Giugno 2012 - Ing. Gestionale Cognome: Nome: Matricola: Numero d’iscrizione: Non scrivere nel riquadro sottostante Tutte le risposte devono essere giustificate. Esercizio 1 . Trovare gli estremi assoluti di F (x; y) = x3 + y3 sulla circonferenza x2 + y2 = 1 e verificare che, in corrispondenza a tali punti, le tangenti alle curve di livello di F (x; y) coincidono con le tangenti al cerchio. Esercizio 2 . Si consideri il campo di forze F : R2 \ {(0; 0)} → R2 definito da F (x; y) = x x2 + y2 i + y x2 + y2 j : 1. Si verifichi che ` e irrotazionale. 2. Si dica se dal punto precedente si pu` o dedurre che ` e conservativo dove ` e definito. 3. Si calcoli una funzione V (x; y) tale che ∇V = F . 4. Si generalizzino le risposte precedenti al caso F (x; y) = x (x2 + y2) i + y (x2 + y2) j : con ∈ R. Esercizio 3 . Verificare che l’equazione (x + y)3 − 3x2 − 3y2 + 2x − 4y = 0 definisce implicitamente una funzione y = f (x) il cui grafico passa per il punto (0 ; −1). Calcolare f ′(0) e f ′′(0).