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Probabilit` a e Statistica — 02.09.2014 Cognome Nome Matricola Domande corrette Punti Esercizio 1 Punti Esercizio 2 Punti Esercizio 3 La risposta a ciascuno dei 10 test ` e considerata valida se e soltanto se tutti i valori di verit` a relativi sono stati indicati correttamente. Domanda 1. Alcuni amici hanno organizzato una festa ma non tutti andranno di sicuro. Sia A l’evento “Aldo ci va”,B l’evento “Bobo ci va”, C l’evento “Carlo ci va” ed E l’evento “almeno due tra Aldo, Bobo e Carlo ci vanno”. Apporre i corretti valori di verit` a: V FzE⊆A∩B, V Fz E = (A∩B)∪ (A∩C)∪ (B∩C), V FzA∪B⊆E, V Fz E = (A∩B)∪ (A∩C)∪ (B∩C)∪ (A∩B∩C). Domanda 2. Sia Fn la funzione di ripartizione della distribuzione t di Student con n gradi di libert` a et >0. Sapendo che Fn(t) =p quanto valeFn(−t)? V Fz1− 2p, V Fz(1 +p)/2 per n pari e (1−p)/2 per n dispari, V Fz 1−p, V Fz1/(1 + (p/n)2n)(n+1)/2. Domanda 3. Sia X una variabile aleatoria la cui fun- zione di ripartizione FX ` e data daFX(x) = 0 per x≤ 0 e FX(x) = 1− exp(−x2/2) per x >0. Apporre i corretti valori di verit` a alle seguenti affermazioni: V Fz P{X >0} = 1 V Fzse Z ha distribuzione normale N(0, 1) allora |Z| ha la stessa distribuzione di X, V Fz la densit` a diX ` efX(x) = 0 per x< 0 e fX(x) = x exp(−x2/2) per x> 0, V FzP{X >1} = 1/e. Domanda 4. Sia (X,Y ) un vettore aleatorio gaussiano bidimensionale con medie nulle e matrice di covarianza C = (Ci,j)1≤i,j≤2 data da C11 = 2, C12 = 1, C22 = 1. Quale delle seguenti affermazioni ` e sempre vera? P{|X−Y|> 0.44} vale circa 0.56, V [X +Y ] = 3, z P{X−Y >0.81} vale circa 0.209, esiste un c> 0 tale che P{|X +Y|>c} = 1. Domanda 5. Siano X,Y due variabili aleatorie in- dipendenti con distribuzione rispettivamente di Bernoulli b(1/3) e Poisson P (1/3), allora P{X−Y >0} = 0, P{X +Y = 0} = e−1/3/3, z…