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Stabilita’ Parole chiave:Matrici simili e cambio di variabili; autovalori e autovettori; diagonalizzazione; mo- di; forma canonica di Jordan; stabilita’ alla Lyapunov; stabilita’ asintotica’; stabilita locale e globa- le; criterio degli autovalori; teorema di Hartman Großman; costante di tempo dominante; tempo di assestamento; condizione di Stodola; criterio di Routh-Hurwitz Introduzione Abbiamo imparato a distinguere il movimento libero e forzato di un sistema. Alcune proprieta’ del movimento libero in particolare sono rilevanti per il problema di controllo di un processo, come possiamo vedere ragionando intuitivamente su questo esempio. Esempio9(Movimento libero tendente a zero).Dato un processo modellizzabile dal sistema ˙x=Ax+Bu,y=Cx+Du, immaginiamo che il movimento libero vada (circa) a 0 in 10 unita’ di tempo. Allora, a partire dat=10, il movimentox(t)coincide con il movimento forzato. Questo significa che •il processo “dimentica” le condizioni iniziali in 10 unita’ di tem- po, in seguito il comportamento e’ completamente determinato dall’ingresso che abbiamo progettato •eventuali disturbi, che modificano lo stato, vengono anch’essi di- menticati in 10 unita’ di tempo. E’ dunque utile saper determinare se e in quanto tempo il mo- vimento libero tende a 0, questo e’ l’argomento di questo capito- lo. Per trovare una risposta, dobbiamo innanzitutto ripassare alcune proprieta’ delle matrici. 28 appunti di automatica Proprieta’ delle matrici Immaginate di dover descrivere il movimento delle molecole d’acqua sul piano della doccia: per prima cosa do- vete scegliere un sistema di coordinate e ovviamente le equazioni che otterrete dipendono da questa scelta, ma il feno- meno che descriverete e’ indipendente dalla scelta di coordinate! ⌅ Definizione: Matrici simili e cambio…