03 Successioni numeriche e limiti

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a.a. 2017/2018 Laurea triennale in Informatica Analisi Matematica (A–L) Successioni numeriche e loro limiti Nota: questo file differisce da quello proiettato in aula per la sola impaginazione. Successioni numeriche Si chiama successione numerica ogni funzione reale definita in un insieme del tipo {n∈ N| n≥ n0}, con n0 numero naturale. Esempio La relazione f (x) = x2 , con x∈ [0, +∞[, definisce una funzione; la relazione f (x) = x2 , con x∈ N, definisce una successione. Parlando di successioni, solitamente denotiamo • la variabile indipendente con n; • il valore che la successione assume in un numero naturale n con il simbolo xn (oppure an , un , . . . ), chiamato termine n-esimo della successione; • la successione (e la sua immagine) con {xn}n∈N (oppure{xn}). 1 Esempi di successioni numeriche xn = 1 n xn = n− 1 n xn = (−1)n n xn = (−1)n xn = n2 xn =−n3 2 Successioni definite per ricorrenza Invece di assegnare esplicitamente la legge n↦→ xn : • prescriviamo il valore corrispondente a n0 , • indichiamo come ottenere il valore successivo dal valore precedente. In simboli: { xn0 = α xn = f (xn−1) ( n≥ n0 + 1) oppure { xn0 = α xn+1 = f (xn) ( n≥ n0) con α∈ R e f funzione. • Legame con principio di induzione • Fissato n, per determinare xn occorrono n− n0 passi. Possiamo ricavare esplicitamente la legge n↦→ xn ? 3 Esempi • { x0 = 1 xn = n xn−1 (n∈ N∗) Espressione esplicita: xn = n· (n− 1)· ... · 3· 2· 1   n! “fattoriale di n” • Fissato q∈ R: { x0 = 1 xn = q xn−1 (n∈ N∗) Espressione esplicita: xn = q· q· ... q· q   qn “progressione geometrica di ragione q ” •    x1 = 2 xn+1 = xn 2 + 1 xn (n∈ N∗) Espressione esplicita? 4