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1 PROVA SCRITTA DI AUTOMATICA I (Prof. Bittanti, BIO A-K) 4 Luglio 2006 Cognome Nome Matricola .................................... ...................... .........……….. .....................………. Verificare che il fascicolo sia costituito da 8 pagine. Scrivere le risposte ai singoli esercizi negli spazi che seguono ogni domanda. Non consegnare fogli addizionali. Non scrivere sul retro. Non si possono consultare libri, appunti, dispense etc. =============================================================================================================== 1. Si consideri il sistema dinamico seguente: 1.a Si calcoli analiticamente ()yt quando il segnale d’ingresso u(t) ha trasformata 2 2() 25 sUs s += + e la condizione iniziale è nulla. 1.b Quanto valgono la pendenza e la concavità iniziale (0)y e (0)y della risposta del sistema quando il La chiarezza e precisione nelle risposte saranno oggetto di valutazione y(t) u(t) () 2 2(1 )() 2 sGs s −=− + 2 segnale d’ingresso u(t) ha trasformata 2 2() 25 sUs s += + ? 1.c Si consideri ora il caso di un ingresso sinusoidale () 2 s i n ( 5)ut t = . Usando il teorema della risposta in frequenza, si calcoli l’ampiezza a regime (cioè per t →+ ∞ ) del segnale d’uscita ()yt . 2. Si consideri il sistema dinamico seguente: con 32 2(1 )() (1 ) 2 ( 1 ) sGs ss s βα βα −=− +− + ++ − + + , con ,α β numeri reali. 2.a Per quali valori di (, )α β il sistema è asintoticamente stabile? Si tracci la regione di asintotica stabilità trovata nel piano (, )α β . ()Gs y(t) u(t) 3 2.b Si consideri il caso particolare ( , ) (3,0)α β = , cioè 3, 0α β= = . Si verifichi che la ( ) Gs corrispondente è la funzione di trasferimento del sistema 1123 21 32 23 () 2 () 2 () 4 () () () () () () () 2 () 2 () x t x tx tx t u t xt xt xt xt yt x t x t =−−+⎧ ⎪ =⎪⎨ =⎪ ⎪ =−⎩ …