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1 SOLUZIONI PROVA SCRITTA DI AUTOMATICA I (Prof. Bittanti, BIO A-K) 4 Luglio 2006 1. Si consideri il sistema dinamico seguente: 1.a Si calcoli analiticamente ()yt quando il segnale d’ingresso u(t) ha trasformata 2 2() 25 sUs s += + e la condizione iniziale è nulla. 1.b Quanto valgono la pendenza e la concavità iniziale (0)y e (0)y della risposta del sistema quando il segnale d’ingresso u(t) ha trasformata 2 2() 25 sUs s += + ? 1.c Si consideri ora il caso di un ingresso sinusoidale ( ) 2sin(5 )ut t = . Usando il teorema della risposta in frequenza, si calcoli l’ampiezza a regime (cioè per t →+ ∞ ) del segnale d’uscita ( )yt . Soluzione 1.a La trasformata di Laplace di ( )yt è () () 22 2 2(1 ) 2 2 2() () () 25 2 ( 25)2 ss sYs Gs Us ss ss − +−=⋅= − ⋅ = ++ ++ . Applicando il metodo di decomposizione di Heaviside, si ha che () () 2 22 2 22 ( ) ( 2 )2 2 5() 22( 2 5 ) 2 5 2( 2 5 ) sA B s C A B s B C s C AYs sss s ss −+ + + + + +== + = +++ + ++ , da cui 0 22 22 5 2 AB BC CA +=⎧ ⎪ +=⎨ ⎪ += −⎩ , ossia 6 29 6 29 46 29 A B C ⎧ =−⎪ ⎪⎪ =⎨ ⎪ ⎪ =⎪⎩ ; pertanto, 22 2 2 2 64 6 61 61 6 4 6 1 529 29() 29 2 29 2 29 29 525 5 5 s sYs ss ss s + =− + =− + +++ ++ + , da cui, antitrasformando termine a termine, si ottiene infine che 266 4 6( ) cos(5 ) sin(5 ) ( )29 29 145 tyt e t t s c at −⎡⎤=− + +⎢⎥⎣⎦ . 1.b Come al punto 1.a, () () 22 2 2(1 ) 2 2 2() () () 25 2 ( 25)2 ss sYs Gs Us ss ss −+ −=⋅= − ⋅ = ++ ++ . Per il teorema del valore iniziale, si ha che () 20 22(0) lim ( ) lim ( ) lim 0 2( 2 5 )ts s syy t s Y s s ss→→ ∞ → ∞ −== = = ++ y(t) u(t) () 2 2(1 )() 2 sGs s −=− + 2 () 22 20 22(0) lim ( ) lim [ ( )] lim [ ( ) (0)] lim ( ) lim 2 2( 2 5 )ts s s s syy t s L y t s s Y s y s Y s s ss→→ ∞ → ∞ → ∞ → ∞ −== = − = = = ++   () () 22 20 323 2 2 22( 0 ) l i m () l i m [ () ] l i m [ ( ) ( 0 ) (…