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Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione II Prov a in Itinere di Statistica per Ingegneria Energetica 4 luglio 2013 c⃝I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. Cognome, Nome e Numero di matricola: Problema 1 . Supponendo di non conoscere alcuna cifra decimale di π, il matematico Mario Lazzarini vuole stimarne statisticamente il valore lanciando n aghi di lunghezza ℓ su un pavimento a strisce distanti 6ℓ/5, cosicché la probabilità che un singolo ago intersechi una qualche linea del pavimento valga p = 5 3π. Sia Xk la variabile che indica se il k-esimo ago interseca una linea del pavimento e sia S =∑n k=1Xk il numero totale di aghi lanciati che intersecano linee del pavimento. (a) Come sono distribuite le variabili Xk ed S? (b) Proporre uno stimatore ˆp per p e dedurne uno stimatore ˆπ per π. (c) Proporre un intervallo di con denza di livello 0.9 per p e dedurne un intervallo di pari livello per π. (d) Quanti aghi dovrebbe lanciare il Lazzarini per ottenere un intervallo per p lungo al massimo 0.03? Il Lazzarini in ne lancia 3·408 aghi contando 1·808 intersezioni. (e) Fornire una stima puntuale di π (tenendo almeno 7 cifre signi cative dopo la virgola!). (f) Fornire una stima intervallare di π di livello 0.9. (g) Supponendo che π appartenga eettivamente all'intervallo trovato in (f), quale errore commetto al massimo se uso per π il valore trovato in (e)? Soluzione . (a) Xk∼B(p) per ogni k = 1,...,n , mentre S∼B(n,p ). (b) ˆp =Xn = S n da cui ˆπ = 5 3ˆp = 5n 3S . (c) IC per p: ˆp− √ ˆp(1−ˆp) n 1.645<p = 5 3π <ˆp + √ ˆp(1−ˆp) n 1.645 da cui IC per π: 5 3 ( ˆp + √ bp(1−bp) n 1.645 ) <π < 5 3 ( ˆp− √ bp(1−bp) n 1.645 ) (d) 2 √ bp(1−bp) n 1.645≤ 1.645√n ≤ 0.03 da cui n≥ (1.645 0.03 )2…