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Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione IV Appello di Statistica per Ingegneria Energetica 4 settembre 2015 c⃝I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. Cognome, Nome e Numero di matricola: Problema 1 . Maya lavora per il teatro Orion, dove sono stati già venduti tutti i 500 biglietti per la prima de La Dea Scarlatta . Maya tuttavia sa che, su 1000 posti venduti, tipicamente ne rimane 1 vuoto. (a) Quale distribuzione ha Xk, la variabile che indica se il k-esimo posto in teatro rimane vuoto? (b) Quale relazione ha Y , il numero totale di posti vuoti, con le variabili Xk? Quale distribuzione ha Y ? (c) Qual è il numero atteso di posti vuoti? (d) Qual è la probabilità che Maya possa far sedere in teatro la sua amica Ayumi, rimasta senza biglietto? (e) Qual è il numero più probabile di posti vuoti? (f) Qual è la probabilità che rimanga vuoto almeno mezzo teatro? Sono ammessi sia calcoli esatti, sia calcoli sempli cati basati su opportune approssimazioni, sia mere maggiorazioni basate sulla disuguaglianza di Chebyshev. 1 Risultati. (a) Xk∼B(p), dove p = 1/1000 = 0.001. (b) Y = 500∑ k=1 Xk∼B(500, 0.001). (c) E[Y ] = 500· 0.001 = 0.5. (d) P(Y ≥ 1) = 1− P(Y = 0) = 1− 0.999500 = 0.3936. (e) Dato P(Y = 0) = 0.6064> 0.5, per forza di cose il valore più probabile è Y = 0. (f) P(Y ≥ 250) = P(Y− 0.5≥ 249.5) = P ( |Y− 0.5|≥ 249.5 ) ≤ Var(Y ) (249.5)2 = 8· 10−6. 2 Problema 2 . Il proprietario di una gelateria vuole essere sicuro che i suoi dipendenti riempiano le vaschette grandi con una quantita di gelato mediamente inferiore ad 1 kg. Ha quindi registrato i pesi xk delle ultime 25 vaschette grandi vendute, trovando dati così distribuiti Istogramma dei pesi 0.90 0.95 1.00 1.05 0 2 4 6 8 ● ●…