04 07 16es

Page 1

04.07.2016 — Esercizi Esercizio 1 La variabile aleatoria continua X ha la seguente densit` a di probabilit` a: fX(x) = θ 2e−θ|x|, x ∈ R doveθ ` e un parametro positivo. 1.1 Sulla base di un campione X1,...,X n, con n> 1, calcolare lo stimatore di massima verosimiglianza del parametro θ. Soluzione: ˆθML = n∑|Xi| 1.2 Dimostrare che l’informazione di Fisher del parametro θ ` en/θ2. Soluzione: n θ2 1.3 Dedurne l’espressione di un intervallo di confidenza bilatero asintotico di confidenza 95% per θ. Soluzione: (ˆθML±zα/2 √ ˆθ2 ML n ) 1.4 L’osservazione di un campione di dimensione n = 100 ha dato i seguenti dati di sintesi: 100∑ i=1 Xi =−2.8689 100∑ i=1 |Xi| = 22.3166 100∑ i=1 X 2 i = 9.8921. Calcolare una stima puntuale e un intervallo di confidenza asintotico al 95% per θ. Soluzione: 4.480975± 0.8783 Esercizio 2 Una multinazionale sta monitorando le recenti vendite in n = 20 distretti (tra loro paragonabili per popolazione e caratteristiche). Per ciascun distretto, sono state considerate le vendite (in migliaia di pezzi) e le spese pubblicitarie (in migliaia di dollari). Si vogliono confrontare i seguenti modelli tra vendite Y e spese pubblicitarie x: Modello 1: Y =β0 +β1·x +ε, ε ∼N (0,σ 2). Modello 2: Y =β0 +β1·x +β2·x2 +ε, ε ∼N (0,σ 2). Di seguito sono riportati gli output di R della regressione per entrambi i modelli. Modello 1: > summary(mod1) Call: lm(formula = y ~ x) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -2.1066 -1.2604 -0.5065 1.4968 3.6870 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) -1.56412 0.72722 -2.151 0.0453 x 0.22305 0.01076 20.727 5.2e-14 Residual standard error: 1.652 on 18 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.9598,Adjusted R-squared: 0.9576 F-statistic: 429.6 on 1 and 18 DF, p-value: 5.196e-14 > shapiro.test(mod1$residuals) Shapiro-Wilk…