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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Politecnico di Milano - Ingegneria Energetica Metodi Analitici e Numerici 4 Settembre 2017 Cognome: Nome: Matricola: Esercizio 1. Utilizzndo il metodo di separazione delle variabili, determinare una soluzioneu=u(x, t) del problema 8 >>>>>>< >>>>>>: @2 @t2u(x, t) @2 @x2u(x, t)+u(x, t)=0 i n Q=( 0,⇡)⇥(0,+1), u(x,0) = 0, @ @tu(x,0) = 1 + cos(3x)i n ( 0 ,⇡), @ @xu(0,t)=@ @xu(⇡, t)=0, in (0,+1). Soluzioni Utilizziamo la separazione di variabili. Cerchiamo una soluzione del problema della forma u(x, t)=↵(t) (x),ove↵2C2([0,+1)) e 2C2([0,⇡]),con↵, 6=0. Derivando tale funzione e sostituendola nell’equazione, si vede che↵e soddisfano le identit` a ↵00(t)+↵(t) ↵(t) = 00(x) (x)= 2R(incognita da determinare). Considerando l’equazione per , si deduce che essa risolve il problema ai limiti 8 < : 00(x) (x)=0,x 2(0,⇡), 0(0) = 0(⇡)=0 il quale ammette soluzioni non banali se, e solo se = n= n20 e in questi casi (x)= n(x)=cncos(nx),x 2(0,⇡)( cncostanti incognite da determinare). Si noti che la soluzione 0(x)=c0, corrispondente all’autovalore n= 0 ` e costante. Per quanto riguarda↵, essa risolve il problema 8 < : ↵00(t)+( 1+n2)↵(t)=0,t 2(0,+1), ↵(0) = 0 che ammette come soluzioni ↵(t)=↵n(t)=dnsin ⇣ t p n2+1 ⌘ ,n 0,t 2(0,+1)( dncostanti incognite da determinare). Quindi, una generica soluzione del problema ha la forma u(x, t)= +1X n=0 Bnsin ⇣ t p n2+1 ⌘ cos(nx),(x, t)2Q, ove abbiamo postoBn=cndn. Notiamo subito che @ @tu(x, t)= +1X n=0 Bn p n2+ 1 cos ⇣ t p n2+1 ⌘ cos(nx), da cui, utilizzando la condizione iniziale su@ @tu(x,0) (finora non considerata) deduciamo @ @tu(x,0) = +1X n=0 Bn p n2+ 1 cos(nx) = 1 + cos(3x). Quindi, per il principio di identit` a delle serie di Fourier (oppure, analogmente, utilizzando il teorema di ortogonalit` a), abbiamo subito che…