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5 Luglio 2019 — Esercizi Esercizio 1 Durante un esame, due studenti cercano di passarsi elle informazioni. Il fatto che il primo studente riesca o meno a trasmettere informazioni corrette e che il secondo riesca a riceverle ` e indicato, rispettivamente, dalle variabili binarie X e Y , quindi la coppia (X,Y ) ` e un vettore con la seguente densit` a discreta di probabilit` a congiunta: X = 0 X = 1 pY (yj) Y = 0 0.35 Y = 1 0.45 pX(xi) 1. Sapendo che E [X] = 0.5, completare la tabella della densit` a congiunta. Soluzione: Poich´ eX ` e una variabile di Bernoulli, sappiamo cheP{X = 1} = E [X] = 0.5, pertanto X = 0 X = 1 pY (yj) Y = 0 0.35 0.05 0.4 Y = 1 0.15 0.45 0.6 pX(xi) 0.5 0.5 1 2. Calcolare la probabilit` a che, pur avendo il primo studente trasmesso le informazioni corrette ( X = 1), il secondo non riesca a riceverle (Y = 0). Soluzione: Si ha P{Y = 0|X = 1} = P{X = 1,Y = 0} P{X = 1} = 0.05 0.5 = 0.1. 3. Calcolare p0 = P{X =Y}. Soluzione: Si ha P{X =Y} = 1∑ k=0 P{X =k,Y =k} = 0.8. Esercizio 2 Mr Tomato possiede un campo che produce annualmente una quantit ‡ di pomodori (in Mkg) ben descritta da una distribuzione esponenziale di media 20 Mkg. 2.1 Calcolare la probabilit` a che nel 2020 la produzione superi i 10 Mkg. Soluzione: La probabilit` a richiesta ` e uguale a exp(−10/20) = 0.606. 2.2 Il consorzio agricolo Tomato&friends raccoglie la produzione proveniente da 30 campi. Assumendo le produzioni dei 30 campi indipendenti e identicamente distribuite secondo il modello utilizzato per il campo di Mr Tomato si calcoli la probabilit` a che nel 2020 ogni campo produca pi` u di 10 Mkg di pomodori. Soluzione: La probabilit` a richiesta ` e uguale a{exp(−10/20)}30 = 0.60630 = 3.05910−07. 2.3 Si calcoli la probabilit` a che nel 2020 il consorzio produca pi` u di 300 Mkg di…