06 02 2007

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Testo con soluzione II prova in itinere di Fondamenti di Automatica - 06/02/2007 Prof. Maria Prandini 1. In figura sono riportati i diagrammi di Bode del modulo e della fase della risposta in frequenza associata alla funzione di trasferimento G(s) di un sistema lineare tempo invariante di ordine 2 con ingresso u ed uscita y. 10 −3 10 −2 10 −1 10 0 10 1 10 2 10 3−50 −40 −30 −20 −10 0 10 20 30 Diagramma di Bode − Modulo dB 10 −3 10 −2 10 −1 10 0 10 1 10 2 10 3 Diagramma di Bode − Fase radianti 0 −π/2 −π/4 1.1 Dire, motivando la risposta, se le seguenti affermazioni sono vere o false: a) il sistema ` e strettamente proprio. Vero. Il diagramma di Bode del modulo della risposta in frequenza associata a G(s) ha pendenza negativa per ω che tende all’infinito. Quindi il numero di poli ` e maggiore del numero degli zeri di G(s). b) il sistema ` e asintoticamente stabile. Vero. Dai diagrammi di Bode della risposta in frequenza associata a G(s) si evince che G(s) ha 2 poli reali p1 = −0.1 e p2 = −50. I poli sono tutti e soli gli autovalori del sistema dato che l’ordine ` e 2. Quindi per il criterio degli autovaolri il sistema ` e asintoticamente stabile. c) il sistema ` e a fase minima. Vero. Tutte le singolarit` a (poli e zeri) di G(s) sono a parte reale negativa (due poli p1 = −0.1 e p2 = −50, e uno zero z = −5). 1.2 Dire, motivando la risposta, quale dei grafici (a), (b), (c), e (d) sotto riportati rappresenta la risposta forzata del sistema all’ingresso u(t) = sca(t) + sen(4t). 0 2 4 6 8 100 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0 20 40 60 80 1000 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 (a) (b) 0 2 4 6 8 100 2 4 6 8 10 12 0 20 40 60 80 1000 2 4 6 8 10 12 (c) (d) Essendo il sistema asintoticamente stabile con polo dominante pd = −0.1, il transitorio della risposta forzata si esaurisce in Ta ≃ 50 unit` a di tempo.…