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Analisi Matematica II - 6 maggio 2014 - Ing. Gestionale Cognome: Nome: Matricola: Numero d’iscrizione: Non scrivere nel riquadro sottostante Tutte le risposte devono essere giustificate. Esercizio 1 . Dare la definizione di matrice diagonalizzabile su R. Fare un esempio di matrice con tutti gli autovalori coinci- denti che sia diagonalizzabile e di una matrice con tutti gli autovalori coincidenti che non sia diagonalizzabile. ===> La definizione di matrice diagonalizzabile su R la si può trovare su un qualunque testo di Algebra. La ricordo comunque qui. Def Una matrice A di tipo (n, n) si dice diagonalizzabile su R se esiste una matrice reale P non degenere (o non singolare) tale che: P −1AP = D dove D è una matrice diagonale. Per quanto riguarda l’esempio, basta trovare una matrice A di tipo (2, 2) tale che soddisfi i due seguenti casi. Caso 1 , autovalori coincidenti, λ1 = λ2 = α, matrice diagonalizzabile det(λI − A) = ( λ − α)2 = 0; r(αI − A) = 0 quindi molteplicità algebrica di α uguale a molteplicità geometrica, spazio degli autovettor i di dimensione 2, matrice diagonalizzabile. Questo fatto mostra che le matri ci 2 × 2 con autovalori coincidenti e diagonalizzabili sono tutte e sole le matrici scalari ovvero le matrici della f orma A =
α 0 0 α  diagonali e con tutti gli elementi della diagonale uguali tra loro. La matrice diagonalizzant e è la la matrice P = I, matrice identica. Caso 2 , autovalori coincidenti, λ1 = λ2 = α, matrice non diagonalizzabile det(λI − A) = ( λ − α)2 = 0; r(αI − A) = 1 quindi molteplicità algebrica di α uguale a 2 e molteplicità geometrica uguale a 1, spazio degli autovettori di dimensione 1, matrice non diagonalizzabile. Per il caso 2 A =
1 1 0 1  ; α = 1; I − A =
0 −1 0 0  ; r(I − A) = 1 (I − A)x = 0 =⇒
0 −1 0 0 
x 1 x2  =
…