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Fondamenti di Automatica Prof. Luca Bascetta Soluzioni della seconda prova scritta intermedia 6 luglio 2017 ESERCIZIO 1 Si consideri il sistema di controllo di figura, con y variabile controllata e yo riferimento: L(s)- yo y+ in cui: L(s) = µ s(1 +s)(1 + 0.2s)(1 + 0.1s) 1. Si tracci il luogo delle radici al variare di µ> 0. La funzione di trasferimento L(s) pu` o essere riscritta, ai fini del tracciamento del luogo delle radici, nella seguente forma: L(s) = ρ s(s + 1)(s + 5)(s + 10) dove ρ = 50µ. I valori di µ positivi corrispondono quindi al luogo diretto, quelli negativi al luogo inverso. La funzione di trasferimento non ha zeri e presenta 4 poli ( m = 0,n = 4), con p1 = 0,p2 = 1, p3 = 5, p4 = 10. Sia il luogo diretto, sia quello inverso, sono quindi caratterizzati da 4 asintoti, che si incontrano nel punto dell’asse reale di ascissa: xa = ∑ izi−∑ ipi n−m =−(0 + 1 + 5 + 10) 4 =−4 Nel luogo diretto, gli asintoti formano con l’asse reale orientato positivamente i seguenti angoli: ϑah = 180◦ +h360◦ n−m = 45◦ +h90◦ ovvero, con h = 0,..., 3, gli angoli 45◦, 135◦, 225◦, 315◦. Tenendo conto della regola di appartenenza dei punti dell’asse reale al luogo, il luogo diretto si traccia come in figura: -30 -20 -10 0 10 20 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 Root Locus Real Axis (seconds-1) Imaginary Axis (seconds-1) 2. Si tracci il luogo delle radici al variare di µ< 0. Nel luogo inverso, gli asintoti formano con l’asse reale orientato positivamente i seguenti angoli: ϑah = h360◦ n−m =h90◦ ovvero, con h = 0,..., 3, gli angoli 0◦, 90◦, 180◦, 270◦. Il luogo inverso si traccia come in figura: -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 Root Locus Real Axis (seconds-1) Imaginary Axis (seconds-1) 3. Si determini con il luogo delle radici il valore ¯ µ di µ per cui uno dei…