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Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale II Prov a in Itinere di Statistica per Ingegneria Energetica 7 Luglio 2011 c⃝I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. Cognome, Nome e Numero di matricola: Problema 1 . La società Hastings s.r.l. viene incaricata di svolgere un’indagine sull’altezza degli studenti del Politecnico. Viene misurata l’altezza X di 120 studenti e una sintesi dei dati (misurati in metri) è riportata in tabella: Classi F req. Assoluta X < 1.60 10 1.60 ≤ X < 1.75 49 1.75 ≤ X < 1.90 36 X ≥ 1.90 25 L’attenzione della ricerca si concentra sulla proporzione p di studenti con altezza almeno pari a 1.75 m (cioè p = P [X ≥ 1.75]). (a) Si fornisca una stima puntuale per p. (b) Si dichiari la regione critica di un test di livello α = 0.05 per H0 : p = 0.4 v .s. H 1 : p ̸= 0.4 (c) Si calcoli il p-value del test di cui al punto precedente e si dica a quale conclusione porta quindi il test. (d) Nel caso si venisse a sapere di aver preso la decisione sbagliata nel test al punto (b), che tipo di errore si sarebbe commesso? (e) Calcolare l’errore di II tipo per il test effettuato al punto (b), nel caso la proporzione vera fosse p = 0.5. 1 Soluzione. (a) Le osservazioni possono essere descritte come variabili bernoulliane Ai = { 1 se Xi ≥ 1.75 0 se Xi < 1.75 , la cui media è esattamente il parametro p che vogliamo stimare. Pertanto ˆp = 1 120 120∑ i=1 Ai = 1 120 (♯{1.75 ≤ Xi < 1.90}+ ♯{Xi ≥ 1.90}) = 1 120 (36 + 25) = 0 .5083333 (b) Dato che 0.4∗120 = 48 e 0.6∗120 = 72 entrambi maggiori di 5, possiamo utilizzare un’approssimazione normale; la regione critica è data da R.C. = { (x1, . . . , xn) : |ˆp − 0.4|/ √ 0.4(1 − 0.4)/n > 1.96 } ovvero, si rifiuta H0 a livello α = 0.05 se |ˆp − 0.4|/ √ 0.4(1 −…