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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale T eoria Analisi e Geometria 1 T erzo appello 7 Settembre 2015 A Docente: Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Cognome: Nome: Matricola: Punteggi degli esercizi : Es.1: 10 punti; Es.2: 6 punti; Es.3: 8 punti; Es.4: 8 punti. Istruzioni: Tutte le risposte devono essere motivate . Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. 1. Data la funzione f(x) := 3 √ (x+1)5 x2 , determinarne • limiti agli estremi del dominio • eventuali asintoti • derivata prima • estremi locali • numero minimo di flessi compatibili con le informazioni precedenti (senza studio di f′′) Soluzione. D(f) = R\{ 0} e limx→±∞f(x) =±∞ , limx→0f(x) = +∞. Asintoto verticale per x→ 0. Asintoti obliqui y =x + 5 3: m := limx→±∞ f (x) x = limx→±∞ 3 √ (x+1)5 x5 = 1 q := lim x→±∞ f(x)−x = lim x→±∞ 3 √ (x + 1)5 x2 −x = lim x→±∞ x ( 3 √ (x + 1)5 x5 −1 ) = lim x→±∞ x ( (1+x−1) 5 3−1 ) = 5 3. Derivata prima di f(x) =x− 2 3 (x + 1) 5 3 : f′(x) =−2 3x− 5 3 (x+1) 5 3 +5 3x− 2 3 (x+1) 2 3 = 1 3x− 2 3 (x+1) 2 3 [5−2x−1(x+1)] = 1 3(1+x−1) 2 3 (3−2x−1) x̸= 0. Estremi locali: x∈ (−∞, 0)∪ (2/3, +∞)⇒f′(x)> 0⇒ f e’ crescente x∈ (0, 2/3)⇒f′(x)< 0⇒ f e’ descrente f′(x) = 0⇔x =−1, 2/3 xm := 2/3 unico minimo locale. xf :=−1 flesso orizzontale. 2. Determinare le soluzioni z∈ C dell’equazione z2 + i z2 =−z2 2 . Soluzione. Perw :=z2 l’equazione diventa w + i w =−w 2 . Moltiplicando per w si ha w2 =−|w|2 2 −i da cui Re(w2) =−|w|2 2 , Im(w2) =−1,|w2|2 =|w|4 = |w|4 4 + 1 e quindi|w|2 = 2√ 3. Sostituendo z4 =w2 =− 1√ 3−i = 2√ 3(−1 2− √ 3 2 i) = 2√ 3(cos(4π 3 ) +i sin(4π 3 )). Le radici dell’equazione sono zk =|zk|(cosθk +i sinθk) k = 0, 1, 2, 3 con|zk| = ( 2√ 3)1/4 e θk = 4π 3 + 2kπ 4 = π 3 +kπ…