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Politecnico di Milano – Ingegneria Industriale Analisi e Geometria 1 Secondo appello – 8 Luglio 2013 Cognome: Compito A Nome: Matricola: Es. 1 : 8 punti Es. 2 : 8 punti Es. 3 : 6 punti Es. 4 : 8 punti T otale 1. Si consideri la curva γ :    x = 3t y = 3t2 z = 2t3 t ∈ [0, 2] . (a) Trovare i versori t , n e b della terna fondamentale nel punto P della curva γ corrispondente al parametro t = 1 . (b) Supponiamo che la curva assegnata γ rappresenti un filo, la cui densit` a lineare di massa sia δ(t) = 1 + t grammi per unit` a di lunghezza. Trovare la massa totale, in grammi, del filo. 2. (a) Trovare la soluzione generale dell’equazione differenziale y′= (y − 1) cos x . (b) Trovare la soluzione ˜ y = ˜y(x) del problema di Cauchy { y′= (y − 1) cos x y(0) = − 1 specificando l’intervallo massimale sul quale si pu` o estendere. Disegnare un grafico quali- tativo della soluzione ˜ y = ˜y(x) , in un intorno di x0 = 0 . 3. Si considerino le rette r :    x = 3 + t y = 1 + 3 t z = 2t e s :    x = u y = 1 z = 1 − u . (a) Stabilire se esiste un piano che contenga entrambe le rette r ed s . (b) Trovare un’equazione cartesiana per il piano π che contiene la retta r e che passa per l’origine. 4. Si consideri la funzione definita da f (x) = x + 1 x2 e− 2 x per ogni x ∈ R \ { 0}. (a) Trovare gli eventuali punti di massimo e di minimo locale. (b) Trovare gli eventuali asintoti. (c) Calcolare il limite L = lim x→ 0+ f ′(x) . (d) Stabilire se la funzione F (x) = ∫ x 1 f (t) dt definita sull’intervallo [1 , +∞ ) , ha un asintoto orizzontale per x → +∞ . Soluzioni 1. (a) Si ha f (t) = (3 t, 3t2, 2t3) f (1) = (3 , 3, 2) f ′(t) = (3 , 6t, 6t2) = 3(1 , 2t, 2t2) f ′(1) = (3 , 6, 6) = 3(1 , 2, 2) f ′′(t) = (0 , 6, 12t) = 6(0 , 1, 2t) f ′′(1) = (0 , 6, 12) = 6(0 , 1, 2) . Poich´ e||f ′(1)||= 3…