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08.07.2014 - appello ENE - docente: E. Piazza obbligatorio - n. iscrizione sulla lista se non ve lo ricordate siete fritti; o no? il presente elaborato si compone di x (ics) pagine Cognome Nome matr.n. Avvertimento: nello svolgimento degli esercizi se una quan tità è indicata con il simbolo x conti- nuare a chiamarla x, e se si chiama W non chiamarla X, e se si chiama ti non chiamarla xi, e se si chiama ¯Tn non indicarla con ¯Xn. Se volete scrivere dipendenti non scrivete indipendenti, s e dovete sottrarre non sommate. Si fanno troppi errori di distrazion e. Mi raccomando: concentrazione. ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– Si consiglia di lavorare con 3 decimali, arrotondando oppor tunamente. Problema 1 . Gli arrivi delle auto al distributore della BENZON sono ben d escritte da un processo di Poisson. Mediamente in un’ora si presentano alla pompa 10 au tomobili. Il distributore apre alle 7:30. 1.1 Qual è la probabilità che la prima auto si presenti esattamen te alle 7:35? Sia N (t) il numero di auto che si presentano alla pompa in t minuti, per cui N (t) ∼ Pois(tν), ν = 10 60 = 1 6 , e sia T il tempo di attesa per la prima auto alla pompa, per cui T ∼ exp(ν). P [T = 5] = 0 . 1.2 Qual è la probabilità che la prima auto si presenti dopo le 7:3 5? P [T > 5] = P [N (5) = 0] = P [Pois(5ν) = 0] = e −ν5 = e−5/6 = 0.4346. 1.3 Qual è la probabilità che la seconda auto si presenti al distr ibutore dopo 20 minuti dall’apertura? P [N (20) ≤ 1] = P [Pois(20ν) ≤ 1] = P [Pois(20ν) = 0] + P [Pois(20ν) = 1] = = e−20ν + 20 ν e−20ν = 0.1546 = 0 .03567 + 0 .11891 = 0 .15458 1.4 Qual è la probabilità che arrivino esattamente 6 auto tra le 8 e le 8:30? P [N(30) = 6] = P [Pois(30ν) = 30] = e−30ν (30ν)6 6! = 0.1462. 1.5 Mediamente quanto tempo intercorre tra l’arrivo di un’auto e la…
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