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Esercizio 1 X e Y sono le due componenti di un vettore aleatorio discreto. 1.1 La densità congiunta e le marginali del vettore ( X, Y ) sono indicate nella seguente tabella: X = 0 X = 1 X = a Y = 0 0.1 Y = 1 0.1 0.4 0.5 0.4 completare gli elementi mancanti. Soluzione: X = 0 X = 1 X = a Y = 0 0.1 0.2 0.3 0.6 Y = 1 0 0.3 0.1 0.4 0.1 0.5 0.4 1.2 Che valore bisogna dare ad a affinché X e Y siano scorrelate? Soluzione: Poiché Cov ( X, Y ) = 0.1− 0.06a, se a = 1.667 X e Y non sono correlate. 1.3 Con il valore di a trovato al punto precedente, le due variabili sono anche indipendenti? Soluzione: Non sono indipendenti Da ora in avanti, sia a = 2 1.4 Calcolare P {Y < X } e P {XY = 0}. Soluzione: Si ottiene P {Y < X } = 0.6 e P {XY = 0} = 0.6 1.5 Motivando la risposta, stabilire se X∼ Binom ( 2, p) , con p un opportuno parametro tra 0 e 1. Soluzione: No, la legge non puo essere Binomiale: P {X = 2} = p2 = 0.4⇒ p = 0.632, P {X = 0} = ( 1− p) 2 = 0.1⇒ p = 0.316 Esercizio 2 Il tempo di esecuzione T di un’istruzione elementare di un computer è una variabile aleatoria espo- nenziale Esp ( λ) di media 0.5 sec. 2.1 Determinare il valore del parametro λ. Soluzione: λ = 1 0.5 = 2 2.2 Calcolare la probabilità che la prossima istruzione elementare sia svolta in meno di mezzo secondo. Soluzione: P {T < 0.5}≃ 0.6321. 2.3 Un certo algoritmo prevede l’esecuzione sequenziale di 400 istruzioni elementari, i cui tempi di esecuzione possono essere supposti indipendenti. Sia S il tempo totale di esecuzione dell’algoritmo. Esprimere S in funzione dei tempi T1,..., T400 delle istruzioni elementari. Calcolare il valore atteso e la deviazione standard di S. Soluzione: E [ S] = 400· E [ T] = 200, √ V ar[ S] = √ 400· V ar[ T] = 10. 2.4 Usando il teorema centrale del limite, stimare la probabilità che…