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Probabilit` a e Statistica — 09/05/2016 Cognome Nome Matricola Domande corrette Punti Esercizio 1 Punti Esercizio 2 Punti Esercizio 3 La risposta a ciascuno dei 10 test ` e considerata valida se e soltanto se tutti i valori di verit` a relativi sono stati indicati correttamente. Domanda 1. Indicare quali delle seguenti funzioni ` e una densit` a di probabilit` a. f(x) = x se 0≤ x≤ 2, f(x) = 0 altrimenti, z f(x) = 1 −| x| se −1 ≤ x ≤ 1 e f(x) = 0 altrimenti, f(x) = −2x + 5/2 se 0 ≤ x ≤ 2 e f(x) = 0 altrimenti, z f(x) = 2e2x se x < 0 e f(x) = 0 altrimenti. Domanda 2. Siano X e Y due variabili aleatorie con densit` a di Bernoulli. se E [X] > E [Y ] allora X > Y , z E [X] > E [Y ] se e solo se P (X = 0) < P (Y = 0), z P (X = 1) = P (Y = 1) implica E [X] = E [Y ], z se E [X] = E [Y ] allora Var [X] = Var [Y ]. Domanda 3. Siano A, B due eventi con P (A) = 2/3 e P (B) = 2/5. Indicare le affermazioni vere. P (A∩ B) = 4/5, P (A∪ B) = 4 /15 se e solo se A e B sono indipendenti, z P (A∪ B) potrebbe avere qualunque valore tra 2/3 e 1. P (A∪ B) potrebbe avere qualunque valore tra 0 e 1. Domanda 4. Si pesca una pallina da un’urna di 90 numerate da 1 a 90. Sia N il numero della pallina estratta e consideriamo i tre eventi A = “esce un numero pari”, B = “esce un numero divisibile per tre”, C = “esce un numero divisibile per sei”. Allora V Fz C = A∩ B, V Fz P (C) = P (A) P (B), V Fz A e B sono disgiunti, V Fz A e B sono indipendenti. Domanda 5. Siano X ∼ B(1, p) e Y ∼ Geom(q) (geometrica con parametro q) due una variabili aleatorie indipendenti. V Fz X + Y ∼ Geom(p + q), V Fz E [X + Y ] = p + 1/q, V Fz XY ∼ Geom(pq), V Fz X Y ∼ B(1, p) Domanda 6. Sia X una variabile aleatoria la cui funzione di ripartizione FX ha il grafico disegnato in figura. - 6 1 2 1 3 2 2 0.2 0.5 0.75 0.8 1 Apporre i…