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Analisi II - 09/07/10 - prova intermedia - Ing. Gestionale Cognome: Nome: Matricola: Numero d’ iscrizione: Non scrivere nel riquadro sottostante Esercizio 1. Dati i punti O(0, 0), A(1, 0), B(0, 1), sia γ la curva chiusa data dall’unione del segmento OA, dall’arco di circonferenza di centro O e raggio 1 che congiunge A con B e dal segmento BO. a) Calcolare l’integrale curvilineo ∫ γ ω dove γ ` e orientata in senso antiorario e ω ` e la forma differenziale ω = 3x x2 + y2 + 1 dx − 3y x2 + y2 + 1 dy. Verificare l’identit´ a di Gauss-Green calcolando un opportuno integrale doppio. La curva γ ` e unione disgiunta dei segmenti OA e BO e dell’arco di cisconferenza AB. ∫ A O ω = ∫ 1 0 3x x2 + 1 dx = 3 2 [ ln(x2 + 1) ]1 0 = 3 2 ln 2. ∫ O B ω = ∫ 0 1 −3y y2 + 1 dy = − 3 2 [ ln(y2 + 1) ]0 1 = 3 2 ln 2. ∫ B A ω = ∫ π/2 0 3 cos θ 2 (− sin θdθ) + ∫ π/2 0 −3 sin θ 2 (cos θdθ) = −3 ∫ π/2 0 sin θ cos θ dθ = = −3 [ sin2 θ ]π/2 0 = − 3 2 . Dunque ∫ γ ω tra O e O ` e la somma di questi tre addendi e vale ∫ γ ω = − 3 2 + 3 ln 2. Essendo questo integrale diverso da 0, la forma ω non pu` o essere esatta (se infatti esi- stesse una funzione potenziale F (x, y) della quale ω fosse il differenziale, si dovrebbe avere∫ γ ω = F (0, 0) − F (0, 0) = 0 ). Ora ω ` e definita su tuttoR2, semplicemente connesso: per` o non pu` o essere esatta perch` e non ` e chiusa, dal momento che ∂ ∂x −3y x2 + y2 + 1 = +6xy (x2 + y2 + 1)2 ̸= ∂ ∂y 3x x2 + y2 + 1 = −6xy (x2 + y2 + 1)2 Diviene perci` o non banale l’integrale doppio ∫ ∫ D ( ∂ ∂x 3y x2 + y2 + 1 − ∂ ∂y 3x x2 + y2 + 1 ) dxdy esteso al quarto di cerchio D contornato da γ , e tale integrale, per il teorema di Gauss- Green, deve essere uguale all’integrale curvilineo ora trovato. E infatti : ∫ ∫ D 12xy (x2 + y2 + 1)2 dxdy = ∫ 1 0 dx ∫ √ 1−x2 0 12xy (x2 + y2 + 1)2…