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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Analisi e Geometria 1 Secondo Appello 9 Luglio 2014 Docente: Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Cognome: Nome: Matricola: Punteggi degli esercizi : Es.1: 10 punti; Es.2: 6 punti; Es.3: 8 punti; Es.4: 8 punti. Istruzioni: Tutte le risposte devono essere motivate . Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit a , sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. 1. Data la funzione f (x) =    x2 x + 1 se x ≤ 0; x ̸= −1 x3 ln 2x se x > 0 a) stabilire se la funzione ` e continua in tutto il suo dominio; b) stabilire se la funzione ` e derivabile in tutto il suo dominio; c) calcolare i limiti alla frontiera del dominio e scrivere l’equazione di eventuali asintoti; d) determinare gli eventuali punti di massimo e/o di minimo e di flesso; e) disegnare il grafico della funzione indicando il numero minimo di flessi compatibile con le informazioni raccolte precedentemente. Soluzione: a) La funzione ` e continua nel suo dominio, infatti ` e continua se x ̸= 0, e poich´ e lim x→0+ x3 ln 2x = 0 = f (0), f risulta continua anche in x = 0. b) La funzione ` e derivabile in tutto il suo dominio; f ′(x) =    x2 + 2x (x + 1)2 se x < 0; x ̸= −1 3x2 ln 2x + x2 se x > 0 In x = 0 la derivata vale 0, infatti lim x→0+ 3x2 ln 2x + x2 = lim x→0 x2 + 2x (x + 1)2 = 0. c) La funzione ha un asintoto obliquo per x → −∞ avente equazione y = x − 1, infatti si ha che f (x) ∼ x per x → −∞ e lim x→−∞ ( x2 x + 1 − x ) = −1; e un asintoto verticale di equazione x = −1. d) Studiando il segno della derivata prima: 3 x2 ln 2x + x2 ≥ 0 se x ≥ 1 2 3√e ; x2 + 2x (x + 1)2 ≥ 0 se x ≤ − 2; si trova un punto di massimo relativo in x = −2 e un punto di minimo relativo in 1 2 3√e . In x = 0 c’` e un punto di…